\( \int_{0}^{\pi/6} \cos x \sqrt{1 + \sin x} dx \)

প্রশ্ন: \( \int_{0}^{\pi/6} \cos x \sqrt{1 + \sin x} dx \)

সমাধান:

ধরি, \( 1 + \sin x = u \)
সুতরাং, \( \cos x dx = du \)

যখন \( x = 0 \), তখন \( u = 1 + \sin 0 = 1 + 0 = 1 \)
যখন \( x = \pi/6 \), তখন \( u = 1 + \sin (\pi/6) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \)

অতএব, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{1}^{3/2} \sqrt{u} du \)

\( = \int_{1}^{3/2} u^{1/2} du \)

\( = \left[ \frac{u^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{3/2} \)

\( = \frac{2}{3} \left[ u^{3/2} \right]_{1}^{3/2} \)

\( = \frac{2}{3} \left[ \left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} - 1^{3/2} \right] \)

\( = \frac{2}{3} \left[ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} - 1 \right] \)

\( = \frac{2}{3} \left[ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} - 1 \right] \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \)

\( = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{2}{3} \)

এখন, প্রদত্ত উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য:

\( \sqrt{6} - 2 \) পাওয়ার জন্য আমাদের হিসাব সামান্য পরিবর্তন করতে হবে।

পুনরায় ধরি, \( 1 + \sin x = t^2 \) তাহলে, \( \sin x = t^2 - 1 \)
সুতরাং, \( \cos x dx = 2t dt \)

যখন \( x = 0 \), তখন \( t^2 = 1 + \sin 0 = 1 \), সুতরাং \( t = 1 \)
যখন \( x = \pi/6 \), তখন \( t^2 = 1 + \sin (\pi/6) = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \), সুতরাং \( t = \sqrt{\frac{3}{2}} \)

তাহলে, ইন্টিগ্রালটি হবে:

\( \int_{1}^{\sqrt{3/2}} t \cdot 2t dt \)

\( = 2 \int_{1}^{\sqrt{3/2}} t^2 dt \)

\( = 2 \left[ \frac{t^3}{3} \right]_{1}^{\sqrt{3/2}} \)

\( = \frac{2}{3} \left[ \left(\sqrt{\frac{3}{2}}\right)^3 - 1^3 \right] \)

\( = \frac{2}{3} \left[ \frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} - 1 \right] \)

\( = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} \)

\( = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{2}{3} \)

এখনও \( \sqrt{6} - 2 \) আসেনি। তবে, প্রদত্ত উত্তরটি সম্ভবত \( \sqrt{6}-2 \) হবে যদি প্রশ্নপত্রে অন্য কোনো constraint থাকে।

আরেকটি approach:

\(\int_{0}^{\pi/6} \cos x \sqrt{1 + \sin x} dx = \int_{0}^{\pi/6} (1+\sin x)^{1/2} \cos x dx\)

Let \(u = 1+\sin x\) so \(du = \cos x dx\). Then

\(\int_{1}^{3/2} u^{1/2} du = \frac{2}{3} u^{3/2} \bigg|_{1}^{3/2} = \frac{2}{3} \left(\left(\frac{3}{2}\right)^{3/2} - 1 \right) = \frac{2}{3} \left(\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} - 1 \right) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} - \frac{2}{3} = \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{2}{3} = \frac{3\sqrt{6}-4}{6}\)

যদি উত্তর \( \sqrt{6} - 2 \) হয়, তবে প্রশ্নপত্রে অথবা উত্তরের ধরনে ভুল থাকতে পারে। 🤔

যদি \( \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{2}{3} \) কে approximation করা হয়, তাহলে \( \sqrt{6} \approx 2.449 \)

\( \frac{2.449}{2} - \frac{2}{3} \approx 1.2245 - 0.6667 \approx 0.5578 \)

অন্যদিকে, \( \sqrt{6} - 2 \approx 2.449 - 2 = 0.449 \). সুতরাং, প্রদত্ত উত্তরটি সঠিক নয়। 🙅‍♀️

সুতরাং, সঠিক উত্তর: \( \frac{\sqrt{6}}{2} - \frac{2}{3} \) 🥳