Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্নে হলো: রাশিটির মধ্যপদটি কততম, যেখানে রাশিটির পদ হলো \(2\left(x + \frac{1}{x}\right)^{16}\)।
আমরা জানি, যদি একটি সমাকলন (binomial) এক্সপ্রেশন হয় \( (a + b)^n \), তবে এর সাধারণ পদ হলো:
\[
\text{পদ} \, (k+1) = \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}
\]
এখানে, \(a = x\) ও \(b = \frac{1}{x}\)।
প্রথমত, রাশিটির মূল সমানুপাত হলো:
\[
R = 2 \left( x + \frac{1}{x} \right)^{16}
\]
এখানে, রাশিটির পদসমূহের জন্য আমরা দেখব:
\[
\left( x + \frac{1}{x} \right)^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - k} \left(\frac{1}{x}\right)^k
\]
এখানে,
\[
x^{16 - k} \times x^{-k} = x^{16 - 2k}
\]
অর্থাৎ,
\[
\left( x + \frac{1}{x} \right)^{16} = \sum_{k=0}^{16} \binom{16}{k} x^{16 - 2k}
\]
তাহলে, রাশিটির পদ হলো:
\[
\text{পদ}_k = 2 \times \binom{16}{k} x^{16 - 2k}
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো সেই পদটি যেখানে \(x\) এর অভিব্যক্তি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন হয়, অর্থাৎ, যেখানে \(x^{16 - 2k}\) এর শক্তি সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন।
---
**অবস্থা:**
- যখন \(16 - 2k = 0\), অর্থাৎ, \(x^0 = 1\), তখন পদটি \(x\) থেকে মুক্ত।
- সমাধান করি:
\[
16 - 2k = 0 \Rightarrow 2k = 16 \Rightarrow k = 8
\]
অর্থাৎ, এই পদটি হলো:
\[
\text{পদ}_8 = 2 \times \binom{16}{8} \times x^{0} = 2 \times \binom{16}{8}
\]
এটি রাশিটির মধ্যপদ বা মধ্যের পদ, কারণ এটি সমান বা প্রায় সমান হয় এর আগে ও পরে পদগুলোর তুলনায়।
---
**উপসংহার:**
- পদনং \(k = 8\)।
- তবে, পদ সংখ্যা গণনা \(k\) থেকে শুরু হয় শূন্য থেকে।
- তাই, এই পদটি **নম্বর 9** তম পদ হিসেবে গণ্য হয় (কারণ প্রথম পদ \(k=0\) থেকে, তাই পদ সংখ্যা হলো \(k+1\)।
**অতএব, রাশিটির মধ্যপদটি হলো ৯তম পদ।**
---
উত্তর:
"9"
