3x + 4y - 12 = 0 সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে একটি ত্রিভুজ গঠন করলে-

1. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6 বর্গ একক
2. ত্রিভুজটি ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত
3. অক্ষদ্বয় কর্তৃক রেখাটির খন্ডিত অংশের পরিমাণ 5 একক

নিচের কোনটি সঠিক?

প্রশ্ন:

3x + 4y - 12 = 0 সরলরেখাটি অক্ষদ্বয়ের সাথে একটি ত্রিভুজ গঠন করলে-

1. ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6 বর্গ একক
2. ত্রিভুজটি ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত
3. অক্ষদ্বয় কর্তৃক রেখাটির খন্ডিত অংশের পরিমাণ 5 একক

উত্তর: "i, ii ও iii"

সমাধান:

ধাপ 1: রেখাটির সমীকরণ

দেওয়া রেখাটির সমীকরণ:

\(3x + 4y - 12 = 0\)

ধাপ 2: রেখাটির অক্ষদ্বয় (অক্ষরেখা)

অক্ষদ্বয় হলো x-অক্ষ (y=0) ও y-অক্ষ (x=0)

ধাপ 3: রেখাটির অক্ষদ্বয় কর্তৃক খণ্ডিত অংশের পরিমাণ

রেখাটির অক্ষদ্বয় কর্তৃক খণ্ডিত অংশের পরিমাণ হলো রেখাটির অক্ষদ্বয় দ্বারা নির্ধারিত বিন্দুগুলির মধ্যে দূরত্ব।

ধাপ 4: রেখাটির অক্ষদ্বয় ছেদ বিন্দুগুলি নির্ণয়

• যখন \(y=0\), তখন সমীকরণ হয়: \[ 3x + 4(0) - 12 = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x=4 \] অর্থাৎ, বিন্দু A(4, 0)
• যখন \(x=0\), তখন সমীকরণ হয়: \[ 3(0) + 4y - 12= 0 \Rightarrow 4y=12 \Rightarrow y=3 \] অর্থাৎ, বিন্দু B(0, 3)

ধাপ 5: রেখাটির অক্ষদ্বয় কর্তৃক কাটার দৈর্ঘ্য

দৈর্ঘ্য: \[ AB = \sqrt{(4-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \] অতএব, রেখাটির অক্ষদ্বয় কর্তৃক অংশের দৈর্ঘ্য = 5 একক। এটি দেওয়া শর্তের সাথে মিলছে।

ধাপ 6: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়

রেখাটির ছেদ বিন্দুগুলি হলো A(4,0) ও B(0,3)।

ত্রিভুজটি অক্ষদ্বয় এবং রেখাটির সাথে গঠিত। এই ক্ষেত্রে, ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু হলো রেখাটির অক্ষদ্বয় ছেদ বিন্দুগুলির সন্নিকটে অবস্থিত, অর্থাৎ শীর্ষ বিন্দু হলো (0,0), কারণ অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত কোঅর্ডিনেটগুলির মধ্যে সর্বনিম্ন মানগুলো ব্যবহার করে ত্রিভুজ গঠন করা হয়।

ধাপ 7: ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল গণনা

ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু: O(0,0)
বিন্দু A(4,0)
বিন্দু B(0,3)

ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল সূত্র: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \] এখানে, শীর্ষ বিন্দু O(0,0), A(4,0), B(0,3) হলে: \[ \text{Area} = \frac{1}{2} |0(0 - 3) + 4(3 - 0) + 0(0 - 0)| = \frac{1}{2} |0 + 12 + 0| = \frac{12}{2} = 6 \] অর্থাৎ, ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6 বর্গ একক।

উপসংহার:

• ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল 6 বর্গ একক (সত্য)
• ত্রিভুজটি ১ম চতুর্ভাগে অবস্থিত: কারণ অক্ষদ্বয় দ্বারা গঠিত শীর্ষ বিন্দু (0,0) থেকে উপরের ডানদিকে অবস্থিত।
• অক্ষদ্বয় কর্তৃক রেখাটির খন্ডিত অংশের দৈর্ঘ্য 5 একক (সত্য)

উত্তর:

সুতরাং, সবগুলো শর্তই সঠিক।

অর্থাৎ, "i, ii ও iii" উত্তর সঠিক।