∫e^xsin 2x dx নির্ণয় কর।

ধরি, \(I = \int e^x \sin 2x \, dx \)

আমরা ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করব।

প্রথম ফাংশন \(\sin 2x\) এবং দ্বিতীয় ফাংশন \(e^x\) ধরে:

\(I = \sin 2x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\sin 2x) \int e^x \, dx \right) dx \)

\(= e^x \sin 2x - \int 2\cos 2x \cdot e^x \, dx \)

\(= e^x \sin 2x - 2 \int e^x \cos 2x \, dx \)

আবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করে, \( \int e^x \cos 2x \, dx \) নির্ণয় করি।

এখানে প্রথম ফাংশন \(\cos 2x\) এবং দ্বিতীয় ফাংশন \(e^x\) :

\(\int e^x \cos 2x \, dx = \cos 2x \int e^x \, dx - \int \left( \frac{d}{dx} (\cos 2x) \int e^x \, dx \right) dx \)

\(= e^x \cos 2x - \int (-2\sin 2x) e^x \, dx \)

\(= e^x \cos 2x + 2 \int e^x \sin 2x \, dx \)

\(= e^x \cos 2x + 2I \)

সুতরাং, \(I = e^x \sin 2x - 2 (e^x \cos 2x + 2I) \)

\(I = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x - 4I \)

\(5I = e^x \sin 2x - 2e^x \cos 2x \)

\(I = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C \)

সুতরাং, \( \int e^x \sin 2x \, dx = \frac{1}{5} e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) + C \)

অতএব নির্ণেয় সমাধান: \( \frac{1}{5}e^x (\sin 2x - 2\cos 2x) \) 🎉