Another Explanation (5): প্রশ্ন: SCIENCE শব্দটির স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে সবকয়টি বর্ণকে সম্ভাব্য যত উপায়ে সাজানো যায় তাদের সংখ্যা নির্ণয় করো।
সমাধান:
প্রথমে, শব্দটি হলো: SCIENCE
স্বরবর্ণগুলো হলো: I, E, E
অর্থাৎ, স্বরবর্ণের সংখ্যা = 3 (I, E, E)
ব্যাকরণে: স্বরবর্ণের সেট = \(\{I, E, E\}\)
বৈশিষ্ট্য: স্বরবর্ণগুলো একই রকমের (E দুটি), তাই permutations এর ক্ষেত্রে সাধারণ permutations এর সূত্র প্রযোজ্য নয়, বরং স্বরবর্ণগুলোকে পৃথক ভাবতে হবে না, কারণ দুটি E সমান।
অতএব, স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রাখার জন্য:
ধরা যাক, স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রাখার জন্য একটি "ব্লক" হিসেবে বিবেচনা করি।
অর্থাৎ, এই ব্লকটি হলো: (I, E, E) হিসেবে
এই ব্লকটির ভিতরে permutations গণনা করতে হবে:
Number of permutations of \(\{I, E, E\}\) = \(\frac{3!}{2!} = 3\)
(কারণ, দুটি E সমান, তাই মোট permutations = \(\frac{3!}{2!}\))
বলা হয়ে গেল, স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রেখে তাদের permutations সংখ্যা = 3
এখন, এই ব্লকটি অন্যান্য ব্যঞ্জনবর্ণের সাথে যুক্ত থাকলে, মোট শব্দের সংখ্যা নির্ণয় করতে হবে।
শব্দের মোট অক্ষর: S, C, I, E, N, C, E
অর্থাৎ, মোট অক্ষর = 7
অভ্যন্তরীণ অক্ষর গণনা:
- S: 1 বার
- C: 2 বার
- I: 1 বার
- N: 1 বার
- E: 2 বার
তাই, সব অক্ষর সমন্বয়ে মোট permutations:
\[
\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260
\]
কিন্তু, এখানে আমরা শুধু স্বরবর্ণগুলোকে একত্রে রাখার permutations সংখ্যা গণনা করছি।
তাদের একত্রে রাখার জন্য, এই 3 স্বরবর্ণের permutations কে সংখ্যার সাথে গুণ করতে হবে (কারণ, এই permutations স্বরবর্ণের permutations, আর অন্যান্য অক্ষর আলাদা)।
তাই, মোট সম্ভাব্য সাজানোর উপায়:
\[
\text{Total} = \text{Number of ways to permute consonants and other letters} \times \text{Number of arrangements of the vowel block}
\]
তাদের মধ্যে:
- কনসন্যান্ট অক্ষর (S, C, C, N): এই অক্ষরগুলোকে সংযুক্ত করে, মোট অক্ষর: S, C, C, N
- অন্যান্য অক্ষর: I, E, E (স্বরবর্ণগুলো, যেগুলো একত্রে রাখা হয়েছে)
তাই, মার্জিনে:
Number of arrangements of consonants and other consonants (excluding the vowel block):
অক্ষর: S, C, C, N, + একটিভ ব্লক (যেমন, [V])
অতএব, এই মোট অক্ষর হলো: S, C, C, N, (ব্লক)
মোট অক্ষর: 5 (ব্লকটিকে এক অক্ষর হিসেবে ধরা হয়েছে)
এবং, এই অক্ষরগুলোর permutations:
\[
\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60
\]
(কারণ C দুটি সমান)
এখন, এই 60-টি arrangementsের প্রতিটিতে, স্বরবর্ণের permutations (3! / 2! = 3) যোগ করতে হব??।
অতএব, মোট সম্ভাব্য উপায়:
\[
60 \times 3 = 180
\]
উত্তর: \(\boxed{180}\)
---
**সারসংক্ষেপ:**
- স্বরবর্ণের permutations: \(\frac{3!}{2!} = 3\)
- অন্যান্য অক্ষর ও ব্লকের permutations: \( \frac{5!}{2!} = 60 \)
- মোট সম্ভাব্য সাজানো উপায়: \(60 \times 3 = 180\)
**সুতরাং, উত্তর হল: 180**
