Another Explanation (5):
সমাধান:
আমাদের লক্ষ্য হলো নিম্নলিখিত সমষ্টির মান নির্ণয়:
\[
S = \sum_{k=0}^{9} \cos^2 (10^\circ \times k)
\]
অর্থাৎ,
\[
S = \cos^2 0^\circ + \cos^2 10^\circ + \cos^2 20^\circ + \dots + \cos^2 80^\circ + \cos^2 90^\circ
\]
ধাপ 1: ট্রিগোনোমেট্রিক সমীকরণ ব্যবহার
আমরা জানি,
\[
\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}
\]
অতএব,
\[
S = \sum_{k=0}^{9} \frac{1 + \cos 2 \times 10^\circ \times k}{2}
\]
ধাপ 2: সমষ্টি বিভক্ত করা
\[
S = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k)
\]
প্রথম সমষ্টি সহজ:
\[
\sum_{k=0}^{9} 1 = 10
\]
অতএব,
\[
S = \frac{10}{2} + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = 5 + \frac{1}{2} \sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k)
\]
ধাপ 3: দ্বিতীয় সমষ্টির মান নির্ণয়
আমরা জানি,
\[
\sum_{k=0}^{n-1} \cos (a + d k) = \frac{\sin \left( \frac{n d}{2} \right)}{\sin \left( \frac{d}{2} \right)} \cos \left( a + \frac{(n-1)d}{2} \right)
\]
এখানে,
\[
a = 0^\circ, \quad d = 20^\circ, \quad n=10
\]
অর্থাৎ,
\[
\sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = \frac{\sin \left( \frac{10 \times 20^\circ}{2} \right)}{\sin \left( \frac{20^\circ}{2} \right)} \times \cos \left( 0^\circ + \frac{(10-1) \times 20^\circ}{2} \right)
\]
গণনা করি:
\[
\frac{\sin (100^\circ)}{\sin (10^\circ)} \times \cos (0^\circ + 90^\circ)
\]
এবং,
\[
\sin 100^\circ = \sin (180^\circ - 80^\circ) = \sin 80^\circ
\]
এবং,
\[
\cos 90^\circ = 0
\]
অতএব,
\[
\sum_{k=0}^{9} \cos (20^\circ \times k) = \frac{\sin 80^\circ}{\sin 10^\circ} \times 0 = 0
\]
শেষ পদক্ষেপ
সুতরাং,
\[
S = 5 + \frac{1}{2} \times 0 = 5
\]
উত্তর:
\( \boxed{5} \)
