যদি tanθ + secθ = x হয় তবে sinθ এর মান কত?

Explanation: Hints: প্রদত্ত সমীকরণটি থেকে একবার \(\tan\theta\) এর মান বের করো, আবার \(\sec\theta\) এর মান বের করো। এরপর \(\tan\theta\) কে \(\sec\theta\) দ্বারা ভাগ করলেই \(\sin\theta\) এর মান পেয়ে যাবে। Solve: \(\tan\theta + \sec\theta = x \implies \sec\theta = x - \tan\theta\) ......... (i) \(\implies \sec^2\theta = x^2 - 2x\tan\theta + \tan^2\theta\) \(\implies 1 + \tan^2\theta = x^2 - 2x\tan\theta + \tan^2\theta \implies \tan\theta = \frac{x^2 - 1}{2x}\) আবার, (i) নং সমীকরণ থেকে, \(\sec\theta = x - \tan\theta = x - \frac{x^2 - 1}{2x} = \frac{x^2 + 1}{2x}\) এখন, \(\frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \sin\theta = \frac{\frac{x^2 - 1}{2x}}{\frac{x^2 + 1}{2x}} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\) Ans. (B) ব্যাখ্যা: প্রদত্ত সমীকরণটি দেখে সহজেই বোঝা যায়, এখানে থেকে \(\tan\theta\) এবং \(\sec\theta\) এর মান আলাদা আলাদাভাবে বের করা সম্ভব। এক্ষেত্রে তা-ই করা হয়েছে। আর, \(\frac{\tan\theta}{\sec\theta} = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \div \frac{1}{\cos\theta} = \sin\theta \times \cos\theta \div 1 = \sin\theta\) অর্থাৎ \(\tan\theta\) কে \(\sec\theta\) দ্বারা ভাগ করলে \(\sin\theta\) পাওয়া যায়। তাই এরপর \(\sin\theta\) এর মান পাওয়ার জন্য \(\tan\theta\) কে \(\sec\theta\) দ্বারা ভাগ করা হয়েছে। বিকল্প নিয়ম: অঙ্কটি আরেকভাবে করা যায়: \[ \tan\theta + \sec\theta = x \implies \frac{\sin\theta}{\cos\theta} + \frac{1}{\cos\theta} = x \implies \frac{\sin\theta + 1}{\cos\theta} = x \] \[ \implies \frac{(1 + \sin\theta)^2}{\cos^2\theta} = x^2 \implies \frac{(1+\sin\theta)^2}{1-\sin^2\theta} = x^2 \implies \frac{1+\sin\theta+1-\sin\theta}{1+\sin\theta-1-\sin\theta} = \frac{x^2 - 1}{x^2+1} \text{ [বিয়োজন-যোগ করে]} \] \[ \therefore \sin\theta = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \] By calculator: ক্যালকুলেটরের সাহায্যে \(\theta\) এর প্রায়শত একটা মান ধরে \(\tan\theta + \sec\theta\) এর মান অর্থাৎ \(x\) এর মান বের করো। এরপর \(\theta\) এর ঐ একই মানের জন্য \(\sin\theta\) এর মান বের করে অপশনগুলোর সাথে মিলাও। ধরি, \(\theta = 30^\circ\) হলে \(\tan 30^\circ + \sec 30^\circ = \sqrt{3}\) \[ \therefore x = \sqrt{3} \text{ এবং } \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] এখন, অপশন (B)-এ, \[ \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} = \frac{\sqrt{3}^2 - 1}{\sqrt{3}^2 + 1} = \frac{3 - 1}{3 + 1} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] অর্থাৎ অপশন (B)-এর Answer। অন্য কোনো অপশনের মান \(\frac{1}{2}\) আসে না।

Another Explanation (5): ```html

দেওয়া আছে, \( \tan\theta + \sec\theta = x \). আমাদের \( \sin\theta \) এর মান নির্ণয় করতে হবে। 🤔

আমরা জানি, \( \sec^2\theta - \tan^2\theta = 1 \)। 🤓

সুতরাং, \( (\sec\theta + \tan\theta)(\sec\theta - \tan\theta) = 1 \)। 🧐

যেহেতু \( \tan\theta + \sec\theta = x \), তাই আমরা লিখতে পারি, \( x(\sec\theta - \tan\theta) = 1 \)। 👍

সুতরাং, \( \sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{x} \)। 👌

এখন, আমাদের কাছে দুটি সমীকরণ আছে:

1. \( \tan\theta + \sec\theta = x \)
2. \( \sec\theta - \tan\theta = \frac{1}{x} \)

সমীকরণ (১) এবং (২) যোগ করে পাই, \( 2\sec\theta = x + \frac{1}{x} = \frac{x^2 + 1}{x} \)। 🥳

সুতরাং, \( \sec\theta = \frac{x^2 + 1}{2x} \)। 🤩

আবার, সমীকরণ (১) থেকে (২) বিয়োগ করে পাই, \( 2\tan\theta = x - \frac{1}{x} = \frac{x^2 - 1}{x} \)। 😎

সুতরাং, \( \tan\theta = \frac{x^2 - 1}{2x} \)। 🥰

আমরা জানি, \( \tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} \) এবং \( \sec\theta = \frac{1}{\cos\theta} \)। 😇

সুতরাং, \( \sin\theta = \tan\theta \cdot \cos\theta = \frac{\tan\theta}{\sec\theta} \)। ✨

অতএব, \( \sin\theta = \frac{\frac{x^2 - 1}{2x}}{\frac{x^2 + 1}{2x}} = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \)। 💖

সুতরাং, \( \sin\theta \) এর মান \( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1} \)। 💯

```