Explanation: Hints: কোনো অক্ষ থেকে সর্বাধিক দূরত্ব কিংবা ন্যূনতম দূরত্বে অঙ্কিত স্পর্শক ঐ অক্ষের সমান্তরাল হয়।
Solve: বৃত্তের কেন্দ্র \((-2, -3)\)
\(x\) অক্ষের উপর লম্বরেখার সমীকরণ: \(x = a,\) যা \((-2, -3)\) বিন্দুমীয়।
\(\therefore -2 = a \implies a = -2\)
\(a\) এর মান বসিয়ে, \(x = -2 \implies x + 2 = 0\)
লম্বরেখাটি ও বৃত্তের সমীকরণকে সমাধান করলে পাই,
\((-2)^2 + y^2 + 4(-2) + 6y = 12 \implies y^2 + 6y - 16 = 0 \implies y = -8, 2\)
\(\therefore\) স্থানাংকদ্বয় \((-2, -8)\) ও \((-2, 2)\)
\(x\) অক্ষ থেকে দূরতম বিন্দু \((-2, -8)\)
Ans. (A)
Another Explanation (5): ```html
বৃত্তের উপর x অক্ষ থেকে সর্বাধিক দূরত্বে অঙ্কিত স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়
বৃত্তের সমীকরণ
\( x^2 + y^2 + 4x + 6y = 12 \)
বৃত্তের কেন্দ্র ও ব্যাসার্ধ নির্ণয়
বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ \( x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0 \) এর সাথে তুলনা করে পাই,
\( 2g = 4 \Rightarrow g = 2 \)
\( 2f = 6 \Rightarrow f = 3 \)
\( c = -12 \)
সুতরাং, বৃত্তের কেন্দ্র \( (-g, -f) = (-2, -3) \) এবং ব্যাসার্ধ \( r = \sqrt{g^2 + f^2 - c} = \sqrt{2^2 + 3^2 - (-12)} = \sqrt{4 + 9 + 12} = \sqrt{25} = 5 \) 🥳
x অক্ষ থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব
কেন্দ্র \( (-2, -3) \) থেকে x অক্ষের দূরত্ব \( = |-3| = 3 \)
x অক্ষ থেকে বৃত্তের উপরের দিকের সর্বোচ্চ দূরত্ব
x অক্ষ থেকে বৃত্তের উপরের দিকের সর্বোচ্চ দূরত্ব \( = \) x অক্ষ থেকে কেন্দ্রের দূরত্ব \( + \) ব্যাসার্ধ \( = 3 + 5 = 8 \) 🤩
স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয়
যেহেতু স্পর্শক x অক্ষের সমান্তরাল হবে এবং বৃত্তের উপরে অবস্থিত, তাই স্পর্শবিন্দুর x স্থানাঙ্ক কেন্দ্রের x স্থানাঙ্কের সমান হবে। অর্থাৎ, স্পর্শবিন্দুর x স্থানাঙ্ক \( -2 \) হবে।
স্পর্শবিন্দুটি কেন্দ্র থেকে উল্লম্বভাবে উপরে অবস্থিত হবে। সুতরাং, স্পর্শবিন্দুর y স্থানাঙ্ক \( = \) কেন্দ্রের y স্থানাঙ্ক \( + \) ব্যাসার্ধ \( = -3 + 5 = 2 \) হওয়ার কথা।
কিন্তু আমাদের নির্ণয় করতে হবে x অক্ষ থেকে সর্বাধিক দূরত্বে অঙ্কিত স্পর্শকের স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক। যেহেতু বৃত্তের কেন্দ্র \( (-2, -3) \), তাই x অক্ষ থেকে সর্বোচ্চ দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুটি কেন্দ্রের উপরে থাকবে। সেক্ষেত্রে y এর মান হবে \( -3 + 5 = 2 \) । কিন্তু প্রদত্ত উত্তর অনুযায়ী y এর মান \( -8 \) । 🤔
তাহলে অন্যভাবে চিন্তা করা যাক। x অক্ষ থেকে দূরত্ব \( 8 \) হতে হবে। তাই স্পর্শবিন্দুর y স্থানাঙ্ক হবে \( -8 \)। কারণ কেন্দ্র থেকে নিচের দিকে গেলে x অক্ষ থেকে দূরত্ব বাড়বে।
এখন, বৃত্তের সমীকরণে \( x = -2 \) বসালে,
\( (-2)^2 + y^2 + 4(-2) + 6y = 12 \)
\( 4 + y^2 - 8 + 6y = 12 \)
\( y^2 + 6y - 16 = 0 \)
\( (y + 8)(y - 2) = 0 \)
সুতরাং, \( y = -8 \) অথবা \( y = 2 \)
যেহেতু আমরা x অক্ষ থেকে সর্বাধিক দূরত্বে অবস্থিত বিন্দুটি বিবেচনা করছি, তাই \( y = -8 \) হবে।
অতএব, স্পর্শবিন্দুর স্থানাঙ্ক \( (-2, -8) \)। 🎉
ফাইনাল উত্তর
(-2,-8)
```
