Another Explanation (5): প্রশ্ন: X অক্ষকে (4,0) বিন্দুতে স্পর্শ করে এবং কেন্দ্র \( 5x - 7y + 1 = 0 \) সরলরেখার উপর অবস্থিত এমন বৃত্তের সমীকরণ নির্ণয় করো।
সমাধান:
ধরা যাক, বৃত্তের কেন্দ্র \( (h, k) \) এবং এর ব্যাসার্ধ \( r \)।
**ধাপ ১:**
প্রথমত, যেহেতু বৃত্তটি X অক্ষকে স্পর্শ করে, তাহলে:
\[
\text{X অক্ষের সাথে স্পর্শের জন্য, কেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব সমান হবে ব্যাসার্ধের:}
\]
\[
|k| = r
\]
(কারণ, X অক্ষের সঙ্গে স্পর্শের জন্য কেন্দ্রের y-অক্ষের দূরত্ব ব্যাসার্ধের সমান হতে হবে।)
**ধাপ ২:**
বৃত্তটি পয়েন্ট \( (4,0) \) এ স্পর্শ করে। অতএব,
\[
\text{দূরত্ব কেন্দ্র থেকে পয়েন্টের } = r
\]
অর্থাৎ,
\[
\sqrt{(h - 4)^2 + (k - 0)^2} = r
\]
এবং,
\[
r = |k|
\]
অতএব,
\[
\sqrt{(h - 4)^2 + k^2} = |k|
\]
উভয় পাশে স্কোয়ার করি:
\[
(h - 4)^2 + k^2 = k^2
\]
অতএব,
\[
(h - 4)^2 = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
h = 4
\]
**ধাপ ৩:**
এখন, কেন্দ্রের x-অক্ষের মান \( h = 4 \)।
এবং, কেন্দ্রের y-অক্ষের মান \( k \), যেখানে \( r = |k| \).
**ধাপ ৪:**
বৃত্তের কেন্দ্র \( (4, k) \) সরলরেখা \( 5x - 7y + 1 = 0 \) উপর অবস্থিত। অর্থাৎ,
\[
\text{দূরত্ব} \text{ from } (4, k) \text{ to line } 5x - 7y + 1 = 0 \text{ হবে } 0
\]
কিন্তু, যেহেতু কেন্দ্র সরলরেখার উপর অবস্থান করছে, তাই,
\[
\text{দূরত্ব} = 0
\]
দূরত্ব সূত্র:
\[
\text{দূরত্ব} = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}
\]
এখানে,
\[
A = 5, \quad B = -7, \quad C = 1
\]
নিয়ম অনুসারে,
\[
\frac{|5 \times 4 + (-7) \times k + 1|}{\sqrt{5^2 + (-7)^2}} = 0
\]
অর্থ,
\[
|20 - 7k + 1| = 0
\]
অতএব,
\[
21 - 7k = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
7k = 21 \Rightarrow k = 3
\]
এবং,
\[
r = |k| = 3
\]
**ধাপ ৫:**
সুতরাং, কেন্দ্র হলো \( (4, 3) \), এবং ব্যাসার্ধ \( r = 3 \)।
**ধাপ ৬:**
বৃত্তের সমীকরণ:
\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]
স্থানে মান বসানো:
\[
(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = 9
\]
প্রশ্নের উত্তর হিসেবে এটি সমীকরণ:
\[
x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0
\]
**সর্বশেষ উত্তর:**
\[
\boxed{x^2 + y^2 - 8x - 6y + 16 = 0}
\]
