Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( p \) এর মান কত হলে, \( px^2 + 3y = 1 \) পরাবৃত্তি (±1, 0) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে?
সমাধান:
প্রথমে দেওয়া পরাবৃত্তির সমীকরণ:
\[
px^2 + 3y = 1
\]
আমরা জানি যে, পরাবৃত্তিটি বিন্দু \( (x, y) = (\pm 1, 0) \) দিয়ে অতিক্রম করবে। অর্থাৎ, এই বিন্দুগুলিকে সমীকরণে স্থানান্তর করলে সমান হবে।
তাহলে,
প্রথম বিন্দু: \( (1, 0) \)
অতএব,
\[
p(1)^2 + 3(0) = 1
\]
\[
p + 0 = 1
\]
\[
p = 1
\]
দ্বিতীয় বিন্দু: \( (-1, 0) \)
অতএব,
\[
p(-1)^2 + 3(0) = 1
\]
\[
p + 0 = 1
\]
\[
p = 1
\]
তাহলে, \( p \) এর মান হবে \( 1 \)। তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, পরাবৃত্তি \( ( \pm 1, 0) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে।
আমাদের লক্ষ্য হলো নির্ণয় করা, এমন \( p \) এর মান যেখানে এই বিন্দুগুলি পরাবৃত্তির ওপর দিয়ে অতিক্রম করবে।
তাহলে, যদি পরাবৃত্তির সমীকরণে \( (x, y) = (\pm 1, 0) \) বসাই:
\[
p(\pm 1)^2 + 3(0) = 1
\]
\[
p \times 1 + 0 = 1
\]
\[
p = 1
\]
তবে, প্রশ্নে উল্লেখ করেছে যে, উত্তরটি "-2"। তাহলে কি অন্য কোন অর্থ থাকতে পারে?
অন্যভাবে, যদি পরাবৃত্তির সমীকরণে \( y \) এর মান নির্ণয় করি:
প্রতিটি বিন্দুর জন্য,
\[
px^2 + 3y = 1 \Rightarrow y = \frac{1 - px^2}{3}
\]
এখন, \( y \) এর মান \( 0 \) হলে,
\[
0 = \frac{1 - px^2}{3}
\]
\[
1 - px^2 = 0
\]
\[
px^2 = 1
\]
বিন্দুর জন্য \( x = \pm 1 \), তাহলে:
\[
p \times (1)^2 = 1 \Rightarrow p = 1
\]
অথবা,
\[
p \times (-1)^2 = 1 \Rightarrow p = 1
\]
আবার, \( y \) এর মান যদি \( 0 \) হয়, তাহলে পরাবৃত্তির ওপর দিয়ে অতিক্রমের জন্য, এই বিন্দুগুলির জন্য \( p = 1 \)।
তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখিত মান \( -2 \) কি সম্ভব?
চলুন আমরা \( p = -2 \) ধরে দেখি:
প্রতিটি বিন্দুর জন্য,
\[
px^2 + 3y = 1
\]
বসাই \( p = -2 \):
\[
-2x^2 + 3y = 1
\]
বিন্দু \( (1, 0) \):
\[
-2(1)^2 + 3(0) = 1 \Rightarrow -2 + 0 = 1 \Rightarrow -2 \neq 1
\]
অর্থাৎ, এই বিন্দু সমীকরণে সন্তুষ্ট নয়।
তাহলে, হয়তো প্রশ্নের অর্থ অন্য।
অন্যভাবে, পরাবৃত্তির সমীকরণকে মান অনুযায়ী রূপান্তর করি:
প্রতিটি বিন্দু \( (\pm 1, 0) \) দিয়ে অতিক্রম করবে যদি সেটি পরাবৃত্তির রেখার উপর পড়ে।
অতএব, \( y \) এর মান \( 0 \):
\[
px^2 + 3(0) = 1 \Rightarrow px^2 = 1
\]
এবং \( x = \pm 1 \):
\[
p(1)^2 = 1 \Rightarrow p = 1
\]
অতএব, \( p = 1 \)।
তবে, সম্ভবত এখানে অন্য কোন ধারনা বা গাণিতিক ধারণা থাকতে পারে।
উপসংহার:
প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী, \( p \) এর মান হবে \(-2\)। তাহলে, চলুন \( p = -2 \) ধরে দেখি:
\[
-2x^2 + 3y = 1
\]
বিন্দু \( (1, 0) \):
\[
-2(1)^2 + 0 = 1 \Rightarrow -2 \neq 1
\]
অর্থাৎ, এই বিন্দুটি সমীকরণে পড়ে না।
তাই, সম্ভবত প্রশ্নের উদ্দেশ্য হলো:
পরাবৃত্তির সমীকরণে \( (x, y) = (\pm 1, 0) \) বিন্দুগুলি অন্তর্ভুক্ত করতে হলে, \( p \) এর মান কী হবে?
যেহেতু,
\[
px^2 + 3y = 1
\]
\( y = 0 \), \( x = \pm 1 \):
\[
p \times 1 + 0 = 1 \Rightarrow p = 1
\]
অর্থাৎ, যে মানে আমরা দেখেছি, সেটি \( p = 1 \)।
তবে, উত্তর হিসেবে উল্লেখিত "–2" সম্ভবত ভুল বা অন্য কোন প্রাসঙ্গিক ধারণা থাকতে পারে।
তাই, মূল সমাধান:
\[
\boxed{
p = 1
}
\]
**উপসংহার:**
প্রশ্নে নির্দিষ্টভাবে \( p \) এর মান \( -2 \) হলে, \( ( \pm 1, 0) \) বিন্দু দিয়ে অতিক্রম করবে না। তবে, যদি প্রশ্নের উত্তর হিসেবে "–2" উল্লেখ করা হয়, তাহলে হয়তো অন্য কোন পরিস্থিতি বা ধরণে এটি প্রযোজ্য।
সাধারণভাবে, \( p = 1 \) হলে, \( ( \pm 1, 0) \) বিন্দু দিয়ে পরাবৃত্তি অতিক্রম করবে।
