intsqrt(1-sin2x)/(sinx-cosx)dx =?

প্রশ্ন: \( \int \frac{\sqrt{1-\sin 2x}}{\sin x - \cos x} dx = ? \)

সমাধান:

আমরা জানি, \( \sin 2x = 2 \sin x \cos x \)

সুতরাং, \( 1 - \sin 2x = 1 - 2 \sin x \cos x = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = (\sin x - \cos x)^2 \)

অতএব, \( \sqrt{1 - \sin 2x} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x| \)

এখন, \( \int \frac{\sqrt{1 - \sin 2x}}{\sin x - \cos x} dx = \int \frac{|\sin x - \cos x|}{\sin x - \cos x} dx \)

যদি \( \sin x - \cos x > 0 \) হয়, তবে \( |\sin x - \cos x| = \sin x - \cos x \)

তাহলে, \( \int \frac{\sin x - \cos x}{\sin x - \cos x} dx = \int 1 dx = x + C \)

যদি \( \sin x - \cos x < 0 \) হয়, তবে \( |\sin x - \cos x| = -(\sin x - \cos x) = \cos x - \sin x \)

তাহলে, \( \int \frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} dx = \int -1 dx = -x + C \)

এখন, আমাদের উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য প্রথম কেইসটি নেব।

সুতরাং, \( \int \frac{\sqrt{1 - \sin 2x}}{\sin x - \cos x} dx = x + C \), যেখানে \( \sin x > \cos x \) 😃

অতএব, উত্তর: x

ব্যাখ্যা:

1. প্রথমে, \( 1 - \sin 2x \) কে \( (\sin x - \cos x)^2 \) আকারে প্রকাশ করা হয়েছে।
2. তারপর, বর্গমূল চিহ্ন সরানোর জন্য পরম মান ব্যবহার করা হয়েছে।
3. এরপর, \( \sin x - \cos x \) এর চিহ্নের উপর নির্ভর করে সমাকলন করা হয়েছে।
4. সবশেষে, উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য একটি বিশেষ কেইস বিবেচনা করা হয়েছে।

আশা করি, এটি বোধগম্য হয়েছে! 😉