inte^x(cosx+sinx) dx = কত?

প্রশ্ন: \(\int e^{x} (\cos x + \sin x) \, dx\)

উত্তর: \( e^{x} \sin x + C \)

সমাধান:

আমরা সমাধান করব \(\int e^{x} (\cos x + \sin x) \, dx\)।

প্রথমে, সমাধানটি সহজ করার জন্য সমন্বিত পদ্ধতি ব্যবহার করব। চলুন, \(I\) নির্ণয় করি:
\[
I = \int e^{x} (\cos x + \sin x) \, dx
\]

এখানে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, এটি দুইটি সমবেগ সমাকলন। তাহলে, আমরা দুটি পৃথক ইন্টিগ্রাল আলাদা করে লিখতে পারি:
\[
I = \int e^{x} \cos x \, dx + \int e^{x} \sin x \, dx
\]

অথবা, সরাসরি সমাধান করতে, আমরা মনে করি যে, এটি একটি সাধারণ সমাকলন যার জন্য আমরা একটি ধরণ ব্যবহার করব। 

ধরি,
\[
J(x) = e^{x} (\sin x + \cos x)
\]

আসুন, এই \(J(x)\) এর ডিফারেনশিয়াল নির্ণয় করি:
\[
J'(x) = \frac{d}{dx}[e^{x} (\sin x + \cos x)]
\]

প্রডাক্ট রুল ব্যবহার করি:
\[
J'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x) + e^{x} (\cos x - \sin x)
\]

এখন, এটি সরল করি:
\[
J'(x) = e^{x} (\sin x + \cos x + \cos x - \sin x) = e^{x} (2 \cos x)
\]

অর্থাৎ,
\[
J'(x) = 2 e^{x} \cos x
\]

এখানে লক্ষ্য করুন যে, আমাদের মূল ইন্টিগ্রালটি হলো:
\[
I = \int e^{x} (\cos x + \sin x) \, dx
\]

তাই, আমরা দেখি যে:
\[
J'(x) = 2 e^{x} \cos x
\]

এবং, যেহেতু \(J(x) = e^{x} (\sin x + \cos x)\), তাহলে:
\[
I = \frac{J(x)}{2} + C = \frac{e^{x} (\sin x + \cos x)}{2} + C
\]

তবে, এই পদ্ধতিতে, আমরা লক্ষ্য করি যে, আমাদের মূল সমাধানটি সরলীকরণের জন্য অন্য উপায়ও ব্যবহার করা যায়। 

অন্য পদ্ধতিতে, আমরা সমাধান করব একটি সাধারণ ফর্মুলা ব্যবহার করে। 

সাধারণত, জন্য ইন্টিগ্রাল:
\[
\int e^{ax} \sin bx \, dx \quad \text{এবং} \quad \int e^{ax} \cos bx \, dx
\]
প্রয়োগ করা হয়। 

এখানে, \(a=1\), \(b=1\)।

জানেন, যে:
\[
\int e^{ax} \sin bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}} (a \sin bx - b \cos bx) + C
\]
এবং,
\[
\int e^{ax} \cos bx \, dx = \frac{e^{ax}}{a^{2}+b^{2}} (a \cos bx + b \sin bx) + C
\]

তাহলে, আমাদের মূল ইন্টিগ্রালটি হলো:
\[
I = \int e^{x} \cos x \, dx + \int e^{x} \sin x \, dx
\]

প্রথমটি:
\[
\int e^{x} \cos x \, dx = \frac{e^{x}}{1^2 + 1^2} (1 \cos x + 1 \sin x) = \frac{e^{x}}{2} (\cos x + \sin x)
\]

দ্বিতীয়টি:
\[
\int e^{x} \sin x \, dx = \frac{e^{x}}{2} (1 \sin x - 1 \cos x) = \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x)
\]

এখন, যোগ করি:
\[
I = \frac{e^{x}}{2} (\cos x + \sin x) + \frac{e^{x}}{2} (\sin x - \cos x) = \frac{e^{x}}{2} [ (\cos x + \sin x) + (\sin x - \cos x) ] 
\]

সরলীকরণ করি:
\[
I = \frac{e^{x}}{2} (2 \sin x) = e^{x} \sin x
\]

অতএব, মূল সমাধান হলো:
\[
\boxed{
\int e^{x} (\cos x + \sin x) \, dx = e^{x} \sin x + C
}
\]