int cosxcos(sinx)dx এর মান কোনটি?

প্রশ্ন: ∫ cos(x) cos(sin(x)) dx এর মান নির্ণয় করো।

সমাধান:

ধরি, u = sin(x)

তাহলে, du/dx = cos(x)

সুতরাং, du = cos(x) dx

এখন, ∫ cos(x) cos(sin(x)) dx = ∫ cos(u) du 😊

আমরা জানি, ∫ cos(u) du = sin(u) + c, যেখানে c একটি সমাকলন ধ্রুবক। 🎉

u এর মান বসিয়ে পাই, sin(sin(x)) + c 😎

অতএব, ∫ cos(x) cos(sin(x)) dx = sin(sin(x)) + c 🥳

সুতরাং, উত্তর: sin(sin(x)) + c 😍

গাণিতিক ব্যাখ্যা:

আমরা প্রতিস্থাপন (substitution) পদ্ধতি ব্যবহার করেছি। প্রথমে sin(x) = u ধরে নিয়েছি, তারপর cos(x)dx = du পেয়েছি। এরপর cos(u) এর সমাকলন sin(u) নির্ণয় করে u এর মান sin(x) বসিয়ে উত্তর বের করেছি। 🤔

Verification:

Let's differentiate sin(sin(x)) + c with respect to x:

\(\frac{d}{dx} [sin(sin(x)) + c] = cos(sin(x)) \cdot cos(x) + 0 = cos(x)cos(sin(x))\)

Since the derivative of sin(sin(x)) + c is equal to the integrand, our answer is correct. ✅