inte ^ x(cos x - sin x)dx =?  

প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

\[ \int e^{x} (\cos x - \sin x) \, dx \]

প্রথমে, আমরা ইনটিগ্রালটি সহজ করার জন্য পরিচিত উপায় অনুসরণ করব।

নোট করুন যে:

\[ \frac{d}{dx} (e^{x} \cos x) = e^{x} \cos x - e^{x} \sin x + e^{x} (- \sin x) + e^{x} \cos x \]

এটি সাধারণত ডাবল চেনের জন্য নয়, তবে আমাদের লক্ষ্য হলো এমন একটি অন্তর্গত ফাংশন খুঁজে পাওয়া যেটি এই ইন্টিগ্রালের ডেরিভেটিভের মতো।

অতএব, আসুন ধরি:

\[ I = \int e^{x} (\cos x - \sin x) \, dx \]

এখন, আমরা এই ইন্টিগ্রালটির জন্য একটি গুণনীয়ক পদক্ষেপ গ্রহণ করব।

ধরি:

\[ y = e^{x} (\sin x + \cos x) \]

তাহলে, ডেরিভেটিভ গণনা করি:

\[ y' = \frac{d}{dx} [e^{x} (\sin x + \cos x)] \]

ডেলারিয়েটের সূত্র ব্যবহার করে:

\[ y' = e^{x} (\sin x + \cos x) + e^{x} (\cos x - \sin x) \]

এখানে, প্রথম টার্মটি এসেছে চেইন রুল থেকে, এবং দ্বিতীয়টি এসেছে পণ্যের সূত্র থেকে।

অতএব:

\[ y' = e^{x} (\sin x + \cos x) + e^{x} (\cos x - \sin x) \]

সাধারণীকরণ করলে:

\[ y' = e^{x} [(\sin x + \cos x) + (\cos x - \sin x)] = e^{x} (2 \cos x) \]

অর্থাৎ:

\[ y' = 2 e^{x} \cos x \]

এখন, লক্ষ্য হলো \(\int e^{x} (\cos x - \sin x) dx\)। আমরা লক্ষ্য করছি যে এটি আমাদের ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিত।

তাই, যদি আমরা বলি:

\[ I = \frac{1}{2} y + C \]

কারণ:

\[ y' = 2 e^{x} \cos x \Rightarrow e^{x} \cos x = \frac{1}{2} y' \]

তাহলে, সমাধান হলো:

\[ I = e^{x} \cos x + C \]

অতএব, সমাধান হলো:

\[ \boxed{ \int e^{x} (\cos x - \sin x) \, dx = e^{x} \cos x + C } \]