\(∫_{0}^{π} 3√(1 − cos x sin x) dx\) = ?

Explanation: Hints: Function Transformation করতে হবে। Solve: \(\int_0^{\pi} 3\sqrt{1-\cos x} \sin x \, dx\) ধরি, \(1-\cos x = z \implies \sin x \, dx = dz\) \(x=0\) হলে, \(z=0\) \(x=\pi\) হলে, \(z=2\) \(\therefore \int_0^{\pi} 3\sqrt{1-\cos x} \sin x \, dx = 3 \int_0^2 \sqrt{z} \, dz\) \(= 3 \left[ \frac{z^{3/2}}{3/2} \right]_0^2 = 2 \left( 2^{3/2} - 0 \right)\) \(= 2^{5/2} = 2^{2+1/2} = 2^2 \cdot 2^{1/2} = 4\sqrt{2}\) Ans. (D) ব্যাখ্যা: Function Transformation বলতে \(x\) এর ফাংশনকে \(z\) এর মাধ্যমে (অথবা অন্য কোনো চলকের মাধ্যমে) প্রকাশ করাকে বুঝায়। এখানে Integration কে সহজ করার জন্যই Function Transformation করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

প্রশ্ন: \(∫_{0}^{π} \sqrt{1 - \cos x \sin x} \, dx\) = ? 🤔

সমাধান:

আমরা জানি, \(\sin x + \cos x\) এর আকারের রাশিকে \(A \sin(x + \alpha)\) আকারে প্রকাশ করা যায়। 🧐

এখানে, \(1 - \cos x \sin x = 1 - \frac{1}{2}(2\sin x \cos x) = 1 - \frac{1}{2}\sin 2x\). 🤓

তাহলে, \(∫_{0}^{π} \sqrt{1 - \sin x \cos x} \, dx = ∫_{0}^{π} \sqrt{1 - \frac{1}{2}\sin 2x} \, dx\).

এখন, \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{π}{4})\). 🤩

অতএব, \((\sin x + \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x + 2\sin x \cos x = 1 + \sin 2x\). 😇

সুতরাং, \(\sin 2x = (\sin x + \cos x)^2 - 1\).

আমরা লিখতে পারি, \(1 - \frac{1}{2} \sin 2x = 1 - \frac{1}{2} [(\sin x + \cos x)^2 - 1] = 1 - \frac{1}{2} (\sin x + \cos x)^2 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} - \frac{1}{2} (\sin x + \cos x)^2\). 🤗

এই সমস্যা সমাধানে অন্য একটি পদ্ধতি অবলম্বন করি।

আমরা জানি, \( (\sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x = 1 - \sin 2x \). 👀

তাহলে, \( \sqrt{1 - \sin x \cos x} = \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin 2x} \) সরাসরি সরল করা কঠিন।

আসলে, প্রশ্নটি ছিল:

\(∫_{0}^{π} \sqrt{1 - \cos x \sin x} \, dx\) = ? 🤔

যদি প্রশ্নটি হতো:

\(∫_{0}^{π} \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin(2x)} \, dx\) = ? 🤔

তাহলে, \(∫_{0}^{π} \sqrt{1 - \frac{1}{2} \sin(2x)} \, dx = ∫_{0}^{π} \sqrt{\frac{2 - \sin(2x)}{2}} \, dx\).

এই ইন্টিগ্রালটির সরাসরি কোনো সমাধান নেই। 😥 এটি একটি Elliptic Integral.

যদি প্রশ্নটি অন্যরকম হয়, যেমন: \(∫_{0}^{π/2} \sqrt{1 - \sin x \cos x} \, dx\) অথবা \(∫_{0}^{π/4} \sqrt{1 - \sin x \cos x} \, dx\) তাহলে হয়তো সমাধান করা যেত।

যদি প্রশ্নটি এমন হয়: \(∫_{0}^{π/2} (\sin x + \cos x) \, dx \) 🤔

তাহলে, \(∫_{0}^{π/2} (\sin x + \cos x) \, dx = [-\cos x + \sin x]_{0}^{π/2} = (-\cos(π/2) + \sin(π/2)) - (-\cos(0) + \sin(0)) = (0 + 1) - (-1 + 0) = 1 + 1 = 2\). 😇

কিন্তু দেওয়া ইন্টিগ্রালটির সরাসরি সমাধান নেই এবং এর মান বের করতে numerical methods এর সাহায্য নিতে হবে। 📚

যদি প্রশ্নটি \(∫_{0}^{π/2} \sqrt{1 - \cos x \sin x} dx\) হতো, তাহলে এর মান নির্ণয় করা যেত।

কিন্তু \(∫_{0}^{π} \sqrt{1 - \cos x \sin x} dx\) এর সঠিক মান নির্ণয় করা আমার ক্ষমতার বাইরে। 😓

তবে উত্তরের কাছাকাছি পৌঁছানোর জন্য কিছু approximation technique ব্যবহার করা যেতে পারে।

যদি \(∫_{0}^{π} |\sin x + \cos x| dx\) থাকে তাহলে: 🤨

আমরা জানি, \(\sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{π}{4})\).

সুতরাং, \(∫_{0}^{π} |\sqrt{2} \sin(x + \frac{π}{4})| dx = \sqrt{2} ∫_{0}^{π} |\sin(x + \frac{π}{4})| dx\).

ধন্যবাদ! 🙏

```