∫_0^(π/2)sin^5θcosθd theta এর মান কত?

আমরা \(∫_0^{\frac{π}{2}} sin^5(θ)cos(θ) dθ\) এর মান নির্ণয় করব।

ধরি, \(u = sin(θ)\)

তাহলে, \(du = cos(θ) dθ\)

যখন \(θ = 0\), তখন \(u = sin(0) = 0\)

যখন \(θ = \frac{π}{2}\), তখন \(u = sin(\frac{π}{2}) = 1\)

সুতরাং, আমাদের ইন্টিগ্রালটি হবে:

\(∫_0^1 u^5 du\)

আমরা জানি, \(∫x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)

অতএব, \(∫_0^1 u^5 du = [\frac{u^6}{6}]_0^1\)

\(= \frac{1^6}{6} - \frac{0^6}{6}\)

\(= \frac{1}{6} - 0\)

\(= \frac{1}{6}\)

সুতরাং, \(∫_0^{\frac{π}{2}} sin^5(θ)cos(θ) dθ = \frac{1}{6}\) 🎉