y^2 = 12x উপরস্থ কোনো বিন্দুর কোটি 12 হলে বিন্দুটির উপকেন্দ্রিক দূরত্ব কত? 

প্রশ্ন: \( y^2 = 12x \) এর উপরস্থ কোনো বিন্দুর কোঅর্ডিনেট যদি \( (x_1, y_1) \) হয় এবং যদি ঐ বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব ১২ হয়, তবে সেই বিন্দুটির উপকেন্দ্রিক দূরত্ব কত?

সমাধান:

ধরি, বিন্দুটির কোঅর্ডিনেট \( (x_1, y_1) \)।

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, বিন্দুটি রেখাঙ্কনে \( y^2 = 12x \) এর উপরস্থ। অতএব,

\( y_1^2 = 12x_1 \) --- (1)

উপকেন্দ্রিক দূরত্ব (distance from the focus to the point) যদি \( d \) হয়, তবে আমাদের জানা দরকার যে, এই ধরণের কোঅর্ডিনেটের জন্য, রেখাঙ্কনের ফোকাসের স্থান নির্ণয় করি।

রেখাঙ্কনের সাধারণ বিন্যাস: \( y^2 = 4ax \) যেখানে, \( a \) হলো ধনাত্মক ধ্রুবক।

এখানে, \( y^2 = 12x \), তাই \( 4a = 12 \) → \( a = 3 \)।

ফোকাসের স্থান \( (a, 0) \) হয়। অর্থাৎ, এখানে, \( (3, 0) \)।

অতএব, উপকেন্দ্রিক দূরত্ব \( d \) হলো এই ফোকাস থেকে বিন্দুর দূরত্ব।

অতএব, দূরত্বের সূত্র:

\( d = \sqrt{(x_1 - 3)^2 + y_1^2} \)

কিন্তু, \( y_1^2 = 12x_1 \) থেকে, আমরা লিখতে পারি:

\( d^2 = (x_1 - 3)^2 + 12x_1 \)

প্রশ্নে বলা হয়েছে যে, এই দূ??ত্ব \( d = 12 \)। অতএব,

\( 12^2 = (x_1 - 3)^2 + 12x_1 \)

\( 144 = (x_1 - 3)^2 + 12x_1 \)

এখন, \( (x_1 - 3)^2 = x_1^2 - 6x_1 + 9 \), তাই:

\( 144 = x_1^2 - 6x_1 + 9 + 12x_1 \)

\( 144 = x_1^2 + 6x_1 + 9 \)

উভয় পাশে 9 কমিয়ে নিই:

\( 144 - 9 = x_1^2 + 6x_1 \)

\( 135 = x_1^2 + 6x_1 \)

একটি সাধারণ ক্বাদ্রাটিক সমীকরণ:

\( x_1^2 + 6x_1 - 135 = 0 \)

এটি সমাধান করি:

\( x_1 = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4 \times 1 \times (-135)}}{2} \)

\( x_1 = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 540}}{2} \)

\( x_1 = \frac{-6 \pm \sqrt{576}}{2} \)

\( x_1 = \frac{-6 \pm 24}{2} \)

অতএব, দুইটি মান পাবো:

1. \( x_1 = \frac{-6 + 24}{2} = \frac{18}{2} = 9 \)

2. \( x_1 = \frac{-6 - 24}{2} = \frac{-30}{2} = -15 \)

প্রতিটি মানের জন্য, \( y_1^2 = 12x_1 \) থেকে \( y_1 \) এর মান নির্ণয় করি:

প্রথম মান: \( x_1 = 9 \), তাহলে:

\( y_1^2 = 12 \times 9 = 108 \)

\( y_1 = \pm \sqrt{108} = \pm 6 \sqrt{3} \)

দ্বিতীয় মান: \( x_1 = -15 \), তাহলে:

\( y_1^2 = 12 \times (-15) = -180 \)

যেহেতু \( y_1^2 \) ধনাত্মক হতে হবে, এই মানের জন্য সম্ভব নয়। সুতরাং, শুধুমাত্র প্রথম মান গ্রহণযোগ্য।

তাই, বিন্দুর উপকেন্দ্রিক দূরত্ব হলো:

\( d = 12 \) (প্রশ্নে উল্লেখিত), বা সরাসরি, মনে রাখতে হবে যে, বিন্দুটি \( (9, \pm 6\sqrt{3}) \)।

সুতরাং, উত্তরের মান হলো: 15।