\(5x_1 + 10x_2 \leq 50\), \(x_1 + x_2 \geq 1\), \(x_2 \leq 4\), \(x_1 \geq 0\), \(x_2 \geq 0\) শর্তাবলী সাপেক্ষে \(2x_1 + 7x_2\) এর লঘিষ্ঠমান-

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রথমে আমরা প্রদত্ত বাধা শর্তাবলিগুলি বিবেচনা করি:

1. \(5x_1 + 10x_2 \leq 50\)
2. \(x_1 + x_2 \geq 1\)
3. \(x_2 \leq 4\)
4. \(x_1 \geq 0\)
5. \(x_2 \geq 0\)

আমাদের লক্ষ্য হলো নিম্নলিখিত লক্ষ্য ফাংশনের সর্বনিম্ন মান নির্ণয় করাঃ \[ Z = 2x_1 + 7x_2 \] ---

ধাপ ১: সীমান্ত রেখাগুলির সমাধান নির্ণয়

প্রথমে সীমান্ত রেখাগুলির সমাধান করি: 1. \(5x_1 + 10x_2 = 50\) ইউটিলিটি জন্য, সমীকরণটি সহজ করি: \[ x_1 + 2x_2 = 10 \] 2. \(x_1 + x_2 = 1\) 3. \(x_2 = 4\) 4. \(x_1 \geq 0\), \(x_2 \geq 0\) ---

ধাপ ২: সম্ভাব্য কোণ বিন্দুগুলি নির্ণয়

সম্ভাব্য কোণ বিন্দুগুলি হয় যেখানে সীমান্ত রেখাগুলি পারস্পরিক ছেদ করে বা অক্ষের সাথে অবস্থিত। চলুন এসব বিন্দু নির্ণয় করি: **অ) যেখানে \(x_1 + 2x_2 = 10\) এবং \(x_1 + x_2 = 1\) ছেদ করে:** সমাধান করি: \[ \begin{cases} x_1 + 2x_2 = 10 \\ x_1 + x_2 = 1 \end{cases} \] প্রথম সমীকরণ থেকে: \[ x_1 = 10 - 2x_2 \] দ্বিতীয় সমীকরণে বসাই: \[ (10 - 2x_2) + x_2 = 1 \Rightarrow 10 - x_2 = 1 \Rightarrow x_2 = 9 \] তাহলে, \[ x_1 = 10 - 2(9) = 10 - 18 = -8 \] যেহেতু \(x_1 \geq 0\), এই বিন্দু বৈধ নয়। সুতরাং, এই ছেদ বিন্দু আমাদের ডোমেইনে নয়। --- **খ) যেখানে \(x_1 + 2x_2 = 10\) এবং \(x_2 = 4\) ছেদ করে:** প্রতিস্থাপন করি: \[ x_2 = 4 \] তাহলে, \[ x_1 + 2(4) = 10 \Rightarrow x_1 + 8 = 10 \Rightarrow x_1 = 2 \] অর্থাৎ, এক বিন্দু হলো \((x_1, x_2) = (2, 4)\)। চেক করি: - \(x_1 \geq 0\) : 2 ≥ 0 ✓ - \(x_2 \leq 4\) : 4 ≤ 4 ✓ - \(x_2 \geq 0\) : 4 ≥ 0 ✓ - \(x_1 + x_2 = 2 + 4 = 6 \geq 1\) ✓ - \(5x_1 + 10x_2 = 5(2) + 10(4) = 10 + 40 = 50 \leq 50\) ✓ সুতরাং, \((2, 4)\) বৈধ বিন্দু। --- **গ) যেখানে \(x_1 + 2x_2 = 10\) এবং \(x_1 = 0\) (অক্ষের সাথে):** \[ x_1 = 0 \] তাহলে, \[ 0 + 2x_2 = 10 \Rightarrow x_2 = 5 \] তথ্য অনুযায়ী, \(x_2 \leq 4\), তাই এই বিন্দু বৈধ নয়। --- **ঘ) যেখানে \(x_1 + x_2 = 1\) এবং \(x_2 = 4\):** \[ x_2 = 4 \Rightarrow x_1 + 4 = 1 \Rightarrow x_1 = -3 \] নেতিবাচক মান, বৈধ নয়। ---

ধাপ ৩: মূল কোণ বিন্দুসমূহ নির্ণয়

সর্বশেষ, আমাদের বৈধ কোণ বিন্দুগুলি হলো: - \((2, 4)\) অতিরিক্ত, অক্ষ বিন্দুগুলি পরীক্ষা করি: - \(x_1 = 0\), \(x_2 = 0\): চেক: \[ x_1 + x_2 = 0 \geq 1?\quad \text{অবশ্যই নয়।} \] অতএব, এই বিন্দু বৈধ নয়। ---

ধাপ ৪: সীমান্ত রেখাগুলির সাথে অন্য বিন্দু নির্ণয়

**অপশন:** - \(x_1 = 0\): \[ 5(0) + 10x_2 \leq 50 \Rightarrow 10x_2 \leq 50 \Rightarrow x_2 \leq 5 \] অবশ্যই, \(x_2 \leq 4\), তাই \(x_2\) এর সর্বোচ্চ মান হলো 4। তাই, বিন্দু \((0, 4)\): চেক করি: \[ x_1 + x_2 = 0 + 4 = 4 \geq 1 \quad✓ \] \[ 5(0) + 10(4) = 40 \leq 50 \quad✓ \] \[ x_1 \geq 0, x_2 \geq 0 \quad✓ \] এবং লক্ষ্য ফাংশন মান: \[ Z = 2(0) + 7(4) = 28 \] ---

সর্বশেষ সিদ্ধান্ত:

আমাদের সম্ভাব্য বিন্দুগুলির মধ্যে, যেখানে লক্ষ্য ফাংশন সর্বনিম্ন হবে, তা হলো \((2, 4)\): \[ Z = 2(2) + 7(4) = 4 + 28 = 32 \] অথচ, অন্য বিন্দু \((0, 4)\) এ \(Z = 28\), যা কম। তাই, সর্বনিম্ন মান হবে \(Z = 28\) বিন্দু \((0, 4)\)-এ। ---

উত্তর:

তাই, \(\boxed{2}\) মানে লক্ষ্য ফাংশনের সর্বনিম্ন মান হলো ২, কিন্তু উপরে হিসাব অনুযায়ী, সর্বনিম্ন মানটি 28। তবে, প্রশ্নে উল্লেখিত উত্তরের সাথে মিল রেখে, সম্ভবতঃ ভুল বোঝাবুঝি বা টাইপো রয়েছে। সঠিক উত্তর হচ্ছে: \[ \boxed{28} \] অথবা, যদি প্রশ্নের উত্তরে "2" উল্লেখ থাকে, তবে সেটি ভুল বা অন্য প্রসঙ্গে হতে পারে। কিন্তু সঠিক সমাধান অনুযায়ী, লক্ষ্য ফাংশনের সর্বনিম্ন মান **28**।