Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রদত্ত সীমাবদ্ধতাগুলি হলো:
- \( x + 2y \leq 10 \)
- \( x + y \leq 6 \)
- \( x \leq 4 \)
- \( x, y \geq 0 \)
আমাদের লক্ষ্য হলো \( z = 2x + 3y \) এর সর্বোচ্চ মান নির্ণয় করা।
ধাপ ১: সীমাবদ্ধতাগুলির ফ্রন্টিয়াল ও কার্যকারিতা নির্ণয়
কার্যকারিতা হলো সীমাবদ্ধতাগুলির অক্ষের উপর রেখাচিত্র অঙ্কন করে দ্বৈত সীমাবদ্ধতাগুলির ক্রসিং পয়েন্ট খোঁজা।
ধাপ ২: সীমাবদ্ধতাগুলির রেখাচিত্র আঁকা ও সম্ভাব্য শীর্ষ বিন্দুগুলির নির্ণয়
প্রতিটি সীমাবদ্ধতার রেখাঙ্কন:
- \( x + 2y = 10 \Rightarrow y = \frac{10 - x}{2} \)
- \( x + y = 6 \Rightarrow y = 6 - x \)
- \( x = 4 \)
সীমাবদ্ধতাগুলির অক্ষের ক্ষেত্রের মধ্যে সীমাবদ্ধ বিন্দুগুলি হলো:
- \( (0,0) \)
- \( (0,6) \) (যদি সম্ভব হয়, তবে \( y \leq 6 \))
- \( (4,0) \)
- অন্যান্য সম্ভাব্য পয়েন্ট
ধাপ ৩: সীমাবদ্ধতাগুলির মধ্যে ক্রসিং পয়েন্ট নির্ণয়
**ক্রসিং পয়েন্ট ১:**
\( x + 2y = 10 \) এবং \( x + y = 6 \) এর ক্রসিং:
\[
x + y = 6 \Rightarrow y = 6 - x
\]
বিন্যাস করে:
\[
x + 2(6 - x) = 10
\]
\[
x + 12 - 2x = 10
\]
\[
- x + 12 = 10
\]
\[
x = 2
\]
অতএব,
\[
y = 6 - 2 = 4
\]
তাই, পয়েন্ট হলো \((2, 4)\)।
**ক্রসিং পয়েন্ট ২:**
\( x = 4 \) এবং \( x + 2y = 10 \):
\[
4 + 2y = 10 \Rightarrow 2y = 6 \Rightarrow y = 3
\]
অর্থাৎ, পয়েন্ট হলো \((4, 3)\)।
**অন্য পয়েন্টগুলি:**
- \( (0,0) \) (অবশ্যই সীমাবদ্ধতা পূরণ করে)
- \( (0,6) \) (চেক করা দরকার: \( x + 2y = 0 + 12 = 12 \leq 10?\) না, তাই বৈধ নয়)
- \( (4,0) \) (চেক: \( 4 + 0 \leq 6 \), বৈধ)
### সীমাবদ্ধ বিন্দুগুলির তালিকা:
\[
(0,0), \quad (2,4), \quad (4,3), \quad (4,0)
\]
ধাপ ৪: লক্ষ্য ফাংশুর মান নির্ণয়
\[
z = 2x + 3y
\]
প্রতিটি পয়েন্টে মান নির্ণয় করি:
- **(0,0):**
\( z = 2(0) + 3(0) = 0 \)
- **(2,4):**
\( z = 2(2) + 3(4) = 4 + 12 = 16 \)
- **(4,3):**
\( z = 2(4) + 3(3) = 8 + 9 = 17 \)
- **(4,0):**
\( z = 2(4) + 3(0) = 8 + 0 = 8 \)
সর্বোচ্চ মান:
অতএব, সর্বোচ্চ মান \( z = 17 \) যেখানে পয়েন্ট \( (4,3) \)।
**তবে, প্রশ্নের উত্তর অনুযায়ী "16" উল্লেখ করা হয়েছে।** সম্ভবত প্রশ্ন বা উত্তরে কিছু ভুল থাকতে পারে, বা নির্ণয় অনুযায়ী সর্বোচ্চ মান ১৭।
**সঠিক উত্তর অনুযায়ী, সর্বোচ্চ মান হলো:**
\[
\boxed{17}
\]
**অতএব, সমাধান অনুযায়ী সর্বোচ্চ মান \( \mathbf{17} \)।**
