Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমত, দুইটি সরলরেখার সমীকরণ হলো:
\[
\begin{cases}
5x - y + 4 = 0 \quad \text{(1)} \\
4x - 3y + 5 = 0 \quad \text{(2)}
\end{cases}
\]
ধাপ ১: দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দু নির্ণয়
প্রথমে, সমীকরণ (1) থেকে \( y \) এর মান বের করি:
\[
5x - y + 4 = 0 \Rightarrow y = 5x + 4
\]
এখন, এই মানটি সমীকরণ (2)-এ বসিয়ে দিই:
\[
4x - 3(5x + 4) + 5 = 0
\]
বিস্তারিত সমাধান:
\[
4x - 15x - 12 + 5 = 0
\]
\[
(4x - 15x) + (-12 + 5) = 0
\]
\[
-11x - 7 = 0
\]
এখানে, \( x \) এর মান:
\[
-11x = 7 \Rightarrow x = -\frac{7}{11}
\]
এখন, \( y \) এর মান:
\[
y = 5x + 4 = 5 \times \left(-\frac{7}{11}\right) + 4 = -\frac{35}{11} + 4
\]
এখানে, 4 কে ভগ্নাংশে রূপান্তর করি:
\[
4 = \frac{44}{11}
\]
অতএব,
\[
y = -\frac{35}{11} + \frac{44}{11} = \frac{9}{11}
\]
**অতএব, ছেদবিন্দু:**
\[
\boxed{
\left( -\frac{7}{11}, \frac{9}{11} \right)
}
\]
ধাপ 2: মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ নির্ণয়
ধরা যাক, মূলবিন্দু হলো \( (0,0) \) এবং গমনকারী সরলরেখার ধ্রুবক ধরা হয় \( m \)। তাহলে, সরলরেখার সমীকরণ হবে:
\[
y = m x
\]
আমাদের লক্ষ্য হলো, এই রেখাটি দুইটি সরলরেখার ছেদবিন্দুতে অতিক্রম করবে। অর্থাৎ, এই রেখা এবং দুটি সরলরেখার সমাধান করলে, ছেদবিন্দুতে এই গমনকারী রেখার মান হবে।
এখন, এই রেখাটি ছেদবিন্দুতে অতিক্রম করবে বলে:
\[
\text{অর্থাৎ, } y = m x
\]
এখন, এই রেখাকে দুইটি সরলরেখার সমীকরণে বসিয়ে দেখা যাক।
প্রথমে, (1):
\[
5x - y + 4 = 0
\]
বসিয়ে দিই:
\[
5x - m x + 4 = 0 \Rightarrow (5 - m) x = -4
\]
অর্থাৎ:
\[
x = -\frac{4}{5 - m}
\]
এবং,
\[
y = m x = m \times \left( -\frac{4}{5 - m} \right) = -\frac{4m}{5 - m}
\]
অবশ্যই, এই (x, y) পয়েন্টটি ছেদবিন্দু। এখন, একইভাবে, দ্বিতীয় সমীকরণে:
\[
4x - 3 y + 5 = 0
\]
বসিয়ে দিই:
\[
4x - 3 m x + 5 = 0 \Rightarrow (4 - 3 m) x = -5
\]
অতএব,
\[
x = -\frac{5}{4 - 3 m}
\]
এবং,
\[
y = m x = m \times \left( -\frac{5}{4 - 3 m} \right) = -\frac{5 m}{4 - 3 m}
\]
অতএব, এই দুই পয়েন্ট সমান হলে:
\[
-\frac{4}{5 - m} = -\frac{5}{4 - 3 m}
\]
অথবা,
\[
\frac{4}{5 - m} = \frac{5}{4 - 3 m}
\]
ক্রস মাল্টিপ্লাই করে:
\[
4 (4 - 3 m) = 5 (5 - m)
\]
বিস্তারিত:
\[
16 - 12 m = 25 - 5 m
\]
এখন, সমাধান:
\[
-12 m + 5 m = 25 - 16
\]
\[
-7 m = 9
\]
\[
m = -\frac{9}{7}
\]
অতএব, মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী রেখার ধ্রুবক:
\[
\boxed{
m = -\frac{9}{7}
}
\]
এখন, মূলবিন্দু দিয়ে গমনকারী সরলরেখার সমীকরণ:
\[
\boxed{
y = -\frac{9}{7} x
}
\]
অথবা, সাধারণ রূপে,
\[
7 y + 9 x = 0
\]
এখানে, গুণানুযায়ী,
\[
\boxed{
9 x + 7 y = 0
}
\]
**সুতরাং, উত্তর:**
\[
\boxed{
9x + 7 y = 0
}
\]
