Another Explanation (5): সমাধান:
আমরা ইন্টিগ্রালটি বিবেচনা করছি:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{18 - 2x^2}} \, dx
\]
প্রথমে, সাধারণ রূপে রূপান্তর করি। সাধারণত এরকম ইন্টিগ্রাল সমাধানের জন্য, মূলত একটি ট্রিগোনোমেট্রিক সাবস্টিটিউশনের প্রয়োজন হয়।
ধাপ ১: সাধারণ রূপে রূপান্তর:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]
আমাদের ক্ষেত্রে, \( \sqrt{18 - 2x^2} \) এর মধ্যে রয়েছে, যা আমরা রূপান্তর করতে পারি:
\[
\sqrt{18 - 2x^2} = \sqrt{2(9 - x^2)} = \sqrt{2} \sqrt{9 - x^2}
\]
অতএব, ইন্টিগ্রালটি হয়:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{2} \sqrt{9 - x^2}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx
\]
এখন, আমরা জানি:
\[
\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \, dx = \sin^{-1}\left(\frac{x}{a}\right) + C
\]
এখানে, \( a = 3 \), কারণ \( 9 = 3^2 \):
অতএব,
\[
\frac{1}{\sqrt{2}} \int \frac{1}{\sqrt{9 - x^2}} \, dx = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1}\left(\frac{x}{3}\right) + C
\]
সুতরাং, সমাধানটি হলো:
উত্তর:
\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}} \sin^{-1}\left( \frac{x}{3} \right) + C
