x + y - 2 = 0 রেখাটির—

1. সমান্তরাল রেখা 2x + 2y + 3 = 0
2. মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব √2 একক
3. উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

প্রশ্নের বিশ্লেষণ ও সমাধান

প্রদত্ত রেখাটি: \( x + y - 2 = 0 \)

i. সমান্তরাল রেখা 2x + 2y + 3 = 0 এর সাথে

প্রথমে, মূল রেখাটির সমান্তরাল রেখার সমীকরণ খুঁজে বের করি।

মূল রেখা: \( x + y - 2 = 0 \)

প্রতিটি রেখার কোঅর্ডিনেটের গুণফল সমান হতে হবে এবং সমান্তরাল রেখার সমীকরণে কেবলমাত্র ধ্রুবক পরিবর্তিত হয়।

এতদ্বারা, মূল রেখার ঢাল: \( m = -\frac{A}{B} = -\frac{1}{1} = -1 \)

অতএব, সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হবে: \( y = -x + c \)

প্রথম রেখার জন্য, \( (x, y) \) যে কোনো পয়েন্টের জন্য, \( x + y = 2 \)।

সুতরাং, সমান্তরাল রেখার সমীকরণ হবে: \( x + y = k \)

তাহলে, সমান্তরাল রেখা: \( x + y = k \) এখন, অন্য রেখাটি: \( 2x + 2y + 3 = 0 \) এটি সরলীকরণ করলে: \( x + y = -\frac{3}{2} \) অর্থাৎ, এই রেখাটির সমীকরণ হলো: \( x + y = -\frac{3}{2} \) এবং, মূল রেখার সমীকরণ: \( x + y = 2 \) দুটি রেখার মধ্যে পার্থক্য হলো, তারা সমান্তরাল কি না তা যাচাই করি। কারণ, দুটি রেখার সমীকরণের ধ্রুবক ভিন্ন, তাই এটি সমান্তরাল। অতএব, মূল রেখা এবং \( 2x + 2y + 3 = 0 \) রেখাটি সমান্তরাল। **উত্তর (i):** সঠিক। ---

ii. মূলবিন্দু হতে লম্ব দূরত্ব \( \sqrt{2} \) একক

মূল রেখাটির সাধারণ সমীকরণ: \( x + y - 2 = 0 \)

মূলবিন্দু: ধরা যাক, তা হলো \( (x_0, y_0) \)।

দূরত্ব সূত্র:

\[ d = \frac{|A x_0 + B y_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] এখানে \( A=1, B=1, C=-2 \)। প্রতিটি মূলবিন্দু থেকে দূরত্ব: \( d = \frac{|x_0 + y_0 - 2|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|x_0 + y_0 - 2|}{\sqrt{2}} \) আমাদের লক্ষ্য, এই দূরত্ব \( \sqrt{2} \) একক। সুতরাং, \[ \frac{|x_0 + y_0 - 2|}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \] \[ |x_0 + y_0 - 2| = 2 \] অর্থাৎ, \[ x_0 + y_0 - 2 = \pm 2 \] দুটি সমাধান পাওয়া যায়: 1. \( x_0 + y_0 = 4 \) 2. \( x_0 + y_0 = 0 \) অতএব, মূলবিন্দু যে কোনও পয়েন্ট যেখানে এই সমীকরণগুলো মানে, সেই পয়েন্ট থেকে মূল রেখার দূরত্ব হবে \( \sqrt{2} \)। **উত্তর (ii):** সঠিক। ---

iii. উদ্দীপকের রেখাটি দ্বারা অক্ষদ্বয়ের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক

উদ্দীপকের রেখা: \( x + y - 2 = 0 \)

প্রথমে, অক্ষদ্বয় (অক্ষরেখা) হলো \( x \)-অক্ষ ও \( y \)-অক্ষ। এই রেখাগুলোর সাথে মূল রেখার ছেদ বিন্দুগুলো খুঁজে বের করি। **অক্ষরেখা 1: \( y=0 \) (x-অক্ষ)** সুতরাং, মূল রেখা \( x + y - 2=0 \) এ \( y=0 \) বসালে: \[ x + 0 - 2=0 \Rightarrow x=2 \] অর্থাৎ, প্রথম বিন্দু হলো \( (2, 0) \) **অক্ষরেখা 2: \( x=0 \) (y-অক্ষ)** সুতরাং, মূল রেখা \( x=0 \) এ বসালে: \[ 0 + y - 2=0 \Rightarrow y=2 \] অর্থাৎ, দ্বিতীয় বিন্দু হলো \( (0, 2) \) ত্রিভুজের ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দু হলো এই দুই বিন্দু, এবং তৃতীয় বিন্দু হলো অক্ষের অন্তর্গত বিন্দু। তবে, এখানে মূল রেখাটি অক্ষের সাথে উৎপন্ন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল 2 বর্গ একক বলে ধরা হয়েছে। তাই, এই ত্রিভুজের শীর্ষ বিন্দুগুলো হলো: - \( (0,0) \) (অক্ষের ক্রস বিন্দু) - \( (2,0) \) - \( (0,2) \) এখন, এই তিন বিন্দুর মধ্যে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হিসাব করি: \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| \] প্রতিবর্তন করি: \( (x_1, y_1) = (0,0) \) \( (x_2, y_2) = (2,0) \) \( (x_3, y_3) = (0,2) \) তাহলে, \[ \text{ক্ষেত্রফল} = \frac{1}{2} |0(0 - 2) + 2(2 - 0) + 0(0 - 0)| = \frac{1}{2} |0 + 4 + 0| = 2 \] অতএব, ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো 2 বর্গ একক। **উত্তর (iii):** সঠিক। ---

পূর্ণ উত্তর:

অতএব, সব বিবেচনায়, উত্তর হলো: i, ii ও iii.