কোন সরলরেখাটি 2x+5y+10=0 এর উপর লম্ব? 

প্রশ্ন: কোন সরলরেখাটি \(2x + 5y + 10 = 0\) এর উপর লম্ব?

উত্তর: একটি রেখা অন্য এক রেখার উপর লম্ব হলে, তাদের ঢাল (slope) গুণফল \(-1\) হয়।

প্রথমে, মূল রেখার ঢাল নির্ণয় করি।

রেখা: \(2x + 5y + 10 = 0\)

এটি সাধারণ রেখার রূপে লিখলে:

\(5y = -2x - 10\)

\(y = -\frac{2}{5}x - 2\)

অতএব, এই রেখার ঢাল \(m_1 = -\frac{2}{5}\)

দ্বিতীয় রেখার জন্য, ধরা যাক যে রেখাটির ঢাল \(m_2\)।

যেহেতু রেখাটি লম্ব, তাই:

\(m_1 \times m_2 = -1\)

অর্থাৎ:

\(-\frac{2}{5} \times m_2 = -1\)

অতএব:

\(m_2 = \frac{-1}{-\frac{2}{5}} = \frac{-1 \times 5}{-2} = \frac{-5}{-2} = \frac{5}{2}\)

এখন, রেখাটির সমাধান করি:

রেখার রূপ: \(y = m_2 x + c\)

যেখানে, লম্ব রেখাটি \(2x - 5y + c' = 0\) রূপে লিখতে পারি যাতে ঢাল \(m_2 = \frac{5}{2}\)

সুতরাং, \(2x - 5y + c' = 0\)

এখন, এই রেখার ঢাল নির্ণয় করি:

\( -5y = -2x - c'\)

\( y = \frac{2}{5}x + \frac{c'}{5} \)

অতএব, ঢাল হল \( \frac{2}{5} \)

তাই, এই রেখাটির ঢাল \( \frac{2}{5} \) হয়।

সুতরাং, রেখাটির সমীকরণ হলো:

\( 2x - 5y + c' = 0 \)

প্রশ্??ে চাওয়া হয়েছে, সরলরেখা যা \(2x + 5y + 10 = 0\) এর উপর লম্ব।

অতএব, এই রেখার জন্য \(c'\) নির্ণয় করি।

চাই যে, এই রেখাটি \(2x + 5y + 10 = 0\) এর উপর লম্ব।

তাই, এই দুই রেখার ঢাল গুণফল হবে \(-1\):

\(m_1 = -\frac{2}{5}\)

\(m_2 = \frac{5}{2}\)

এবং, রেখার সমীকরণ হলো:

\(2x - 5y + c' = 0\)

এটি একটি সাধারণ রেখার সমীকরণ।

অতএব, এই রেখার সমীকরণ লিখতে পারি:

\(5x - 2y + d = 0\)

চূড়ান্ত, রেখার সমীকরণ: \(\boxed{5x - 2y = 0}\)