Another Explanation (5):
প্রশ্নের সমাধান:
প্রথমে, আমাদের জানাতে হবে যে, লম্বরেখার সমীকরণটি সেই রেখার জন্য খুঁজতে হবে যা দিয়ে বিন্দু (1, 2) দিয়ে যায় এবং যেটি মূল রেখার সমীকরণ \(2x - 3y - 9 = 0\) এর সাথে লম্ব।
প্রথম ধাপে, মূল রেখার অভিমুখী দিকের ভেক্টর নির্ণয় করি:
\[
\vec{d} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}
\]
এখন, লম্ব রেখার জন্য, এর অভিমুখী ভেক্টর হবে মূল রেখার অভিমুখী ভেক্টরের পোলার ভেক্টর, অর্থাৎ, এর অভিমুখী ভেক্টর হবে \(\vec{d}_{l}\) যেখানে:
\[
\vec{d}_{l} \perp \vec{d}
\]
অর্থাৎ,
\[
\vec{d} \cdot \vec{d}_l = 0
\]
যদি \(\vec{d}_l = \begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix}\), তাহলে,
\[
2a + (-3)b = 0 \Rightarrow 2a = 3b
\]
অর্থাৎ,
\[
a = \frac{3b}{2}
\]
ধরা যাক, \(b = 2\), তাহলে,
\[
a = 3
\]
অতএব, লম্বরেখার অভিমুখী ভেক্টর হল:
\[
\vec{d}_l = \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix}
\]
এখন, যেহেতু লম্ব রেখা (লম্বরেখা) বিন্দু (1, 2) দিয়ে যায়, তাহলে এর সমীকরণ হবে:
\[
\text{Line: } y - y_1 = m (x - x_1)
\]
এখানে, \(m\) হলো অভিমুখী ভেক্টরের ঢাল, যা:
\[
m = \frac{b}{a} = \frac{2}{3}
\]
তাই,
\[
y - 2 = \frac{2}{3}(x - 1)
\]
উপসংহারে, এই সমীকরণটি লিখতে পারি:
\[
3(y - 2) = 2(x - 1)
\]
বা,
\[
3y - 6 = 2x - 2
\]
অথবা,
\[
2x - 3y + (-2 + 6) = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
2x - 3y + 4 = 0
\]
তবে, লক্ষ্য করুন যে, এই সমীকরণটি মূল রেখার লম্বরেখার সমীকরণের সমান নয়। কারণ, আমাদের লক্ষ্য হলো মূল রেখার কাছাকাছি লম্ব রেখার সমীকরণ, যা বিন্দু (1, 2) দিয়ে যায় এবং মূল রেখার সাথে লম্ব।
প্রথমে, মূল রেখার সমীকরণ দেওয়া আছে:
\[
2x - 3y - 9 = 0
\]
এর থেকে, এই রেখার সাধারণ অভিমুখী ভেক্টর হল:
\[
\vec{d} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix}
\]
এখন, লম্বরেখার সমীকরণ, যা বিন্দু (1, 2) দিয়ে যায়, হয়:
\[
\text{Lomb line: } \text{any line through (1,2) with direction vector perpendicular to } \vec{d}
\]
অর্থাৎ, এর সাধারণ সমীকরণ হবে:
\[
A x + B y + C = 0
\]
যেখানে, \(\vec{n} = \begin{bmatrix} A \\ B \end{bmatrix}\) হলো অসিম্পটোটিক ভেক্টর, যা \(\vec{d}\) এর সঙ্গে লম্ব।
অর্থাৎ,
\[
\vec{d} \cdot \vec{n} = 0 \Rightarrow 2A - 3B = 0
\]
এবং, এই রেখাটি দিয়ে যায় পয়েন্ট (1, 2), অর্থাৎ:
\[
A \times 1 + B \times 2 + C = 0
\]
এখন, \(A\) ও \(B\) এর মধ্যে সম্পর্ক হলো:
\[
2A = 3B \Rightarrow A = \frac{3}{2} B
\]
ধরা যাক, \(B = 2\), তাহলে,
\[
A = 3
\]
তাহলে, রেখার সমীকরণ হবে:
\[
3x + 2y + C = 0
\]
এবং, পয়েন্ট (1, 2) দিয়ে যায়, তাই:
\[
3(1) + 2(2) + C = 0
\]
\[
3 + 4 + C = 0 \Rightarrow C = -7
\]
অতএব, লম্ব রেখার সমীকরণ হবে:
\[
3x + 2y - 7 = 0
\]
উপসংহার:
\[
\boxed{
\text{লম্ব রেখার সমীকরণ: } 3x + 2y - 7 = 0
}
\]
