Explanation: 
Another Explanation (5):
সমাধান:
প্রথমে, \(x/2 = y/3 = z/4\) সরলরেখাটির দিক নির্ায়ক ভেক্টর \( \vec{b_1} = (2, 3, 4) \)।
যে সমতলে \(x/3 = y/4 = z/2\) এবং \(x/4 = y/2 = z/3\) সরলরেখা দুটি আছে, তার অভিলম্ব ভেক্টর \( \vec{n} \) হবে এই সরলরেখা দুটির দিক নির্ায়ক ভেক্টরের ক্রস গুণফলের সমান।
প্রথম সরলরেখার দিক নির্ায়ক ভেক্টর \( \vec{b_2} = (3, 4, 2) \) এবং দ্বিতীয় সরলরেখার দিক নির্ায়ক ভেক্টর \( \vec{b_3} = (4, 2, 3) \)।
সুতরাং, \( \vec{n} = \vec{b_2} \times \vec{b_3} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & 4 & 2 \\ 4 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (12-4)\hat{i} - (9-8)\hat{j} + (6-16)\hat{k} = 8\hat{i} - \hat{j} - 10\hat{k} = (8, -1, -10) \)
যে সমীকরণটি নির্ণয় করতে হবে, সেটি \( \vec{b_1} \) ধারক এবং \( \vec{n} \) এর উপর লম্ব। সুতরাং, নির্ণেয় সমতলের অভিলম্ব ভেক্টর \( \vec{N} \) হবে \( \vec{b_1} \) এবং \( \vec{n} \) এর ক্রস গুণফলের সমান।
\( \vec{N} = \vec{b_1} \times \vec{n} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & -1 & -10 \end{vmatrix} = (-30+4)\hat{i} - (-20-32)\hat{j} + (-2-24)\hat{k} = -26\hat{i} + 52\hat{j} - 26\hat{k} = (-26, 52, -26) \)
ভেক্টরটিকে \(-26\) দিয়ে ভাগ করে পাই \((1, -2, 1)\)।
সুতরাং, নির্ণেয় সমতলের সমীকরণ \( x - 2y + z = d \)।
যেহেতু সরলরেখাটি \(x/2 = y/3 = z/4\) মূলবিন্দু দিয়ে যায়, তাই \((0, 0, 0)\) বিন্দুটি সমতলের উপর অবস্থিত। সুতরাং, \( 0 - 2(0) + 0 = d \Rightarrow d = 0 \)।
অতএব, সমীকরণটি \( x - 2y + z = 0 \)। 🎉
