y = 4x এবং y² = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল কত ?  

Explanation:

Another Explanation (5): y = 4x এবং y² = x দ্বারা আবদ্ধ ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ণয়: প্রথমে, রেখা এবং প্যারাবলার ছেদ বিন্দুগুলো বের করি। y = 4x এবং y² = x y² = x সমীকরণে y = 4x বসিয়ে পাই, (4x)² = x 16x² = x 16x² - x = 0 x(16x - 1) = 0 সুতরাং, x = 0 অথবা x = 1/16 x = 0 হলে, y = 4(0) = 0 x = 1/16 হলে, y = 4(1/16) = 1/4 সুতরাং ছেদ বিন্দুগুলো (0, 0) এবং (1/16, 1/4). এখন, ক্ষেত্রফল নির্ণয় করার জন্য ইন্টিগ্রেশন করি। যেহেতু y এর মাধ্যমে ইন্টিগ্রেট করা সহজ হবে, তাই x কে y এর ফাংশন হিসেবে লিখি। x = y/4 এবং x = y² ক্ষেত্রফল, A = \( \int_{0}^{1/4} \) (y/4 - y²) dy A = \( \left[ \frac{y^2}{8} - \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{1/4} \) A = \( \left( \frac{(1/4)^2}{8} - \frac{(1/4)^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{8} - \frac{0^3}{3} \right) \) A = \( \frac{1}{16 \cdot 8} - \frac{1}{64 \cdot 3} \) A = \( \frac{1}{128} - \frac{1}{192} \) A = \( \frac{3}{384} - \frac{2}{384} \) A = \( \frac{1}{384} \) A = \( \frac{1}{192 \cdot 2} = \frac{1}{128} - \frac{1}{192} = \frac{3-2}{384} = \frac{1}{384} \) 🧐🤔 y = 4x ⇒ x = y/4 এবং y² = x ⇒ x = y² ক্ষেত্রফল = \( \int_{0}^{\frac{1}{4}} \) (y/4 - y²) dy = [ y²/8 - y³/3 ]^1/4₀ = (1/16)/8 - (1/64)/3 = 1/(16*8) - 1/(64*3) = 1/128 - 1/192 = (3 - 2)/384 = 1/384 বর্গ একক। 😥 যদি x এর সাপেক্ষে করি : y = 4x, y² = x ⇒ y = √x ক্ষেত্রফল = \( \int_{0}^{\frac{1}{16}} \) (√x - 4x) dx = [ (2/3)x^3/2 - 2x² ]^1/16₀ = (2/3)(1/16)^3/2 - 2(1/16)² = (2/3)(1/4)³ - 2(1/256) = (2/3)(1/64) - 2/256 = 2/192 - 2/256 = 1/96 - 1/128 = (4 - 3)/384 = 1/384 বর্গ একক। 😅 মনে হচ্ছে উত্তরে ভুল আছে। সঠিক উত্তর 1/384 বর্গ একক। 😇