বৃত্তের জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয় 🧐

দেওয়া আছে, বৃত্তের সমীকরণ \(x^2 + y^2 = 144\) 🥳। এবং জ্যা এর মধ্যবিন্দু \((4, -6)\) 🥰।

মনে করি, জ্যা এর সমীকরণ \(y = mx + c\) 🤔। যেহেতু \((4, -6)\) মধ্যবিন্দু, তাই এই বিন্দুটি জ্যা এর উপর অবস্থিত। সুতরাং, \(-6 = 4m + c\) অথবা, \(c = -6 - 4m\) 🤓। অতএব, জ্যা এর সমীকরণ \(y = mx - 6 - 4m\)।

বৃত্তের কেন্দ্র \((0, 0)\)। কেন্দ্র থেকে জ্যা এর লম্ব দূরত্ব,
\(d = \frac{|m(0) - (0) - 6 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}} = \frac{|-6 - 4m|}{\sqrt{m^2 + 1}}\) 🤯।

জ্যা এর দৈর্ঘ্য নির্ণয় করার জন্য, প্রথমে কেন্দ্র থেকে জ্যা এর লম্ব দূরত্ব বের করতে হবে। বৃত্তের ব্যাসার্ধ \(r = \sqrt{144} = 12\) 🤩।

এখন, পিথাগোরাসের উপপাদ্য ব্যবহার করে,
\(r^2 = d^2 + (\frac{L}{2})^2\) , যেখানে \(L\) হল জ্যা এর দৈর্ঘ্য। কিন্তু আমাদের জ্যা এর দৈর্ঘ্য দরকার নেই, জ্যা এর সমীকরণ দরকার। আমরা জানি, কেন্দ্র থেকে জ্যা এর উপর লম্ব, জ্যা কে সমদ্বিখণ্ডিত করে। সুতরাং, \((4, -6)\) বিন্দুটি জ্যা এর মধ্যবিন্দু।

\(x^2 + y^2 = 144\) বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ \(xx_1 + yy_1 = r^2\) 🥰। যেখানে \((x_1, y_1)\) বৃত্তের উপর অবস্থিত একটি বিন্দু। কিন্তু \((4, -6)\) বৃত্তের উপর অবস্থিত নয়। তাহলে জ্যা এর সমীকরণ হবে \(T=0 \Rightarrow xx_1 + yy_1 -144=0\)। এখানে \((x_1,y_1)\equiv(4,-6)\)। সুতরাং \(4x-6y-144=0 \Rightarrow 2x-3y-72=0 \Rightarrow 2x-3y=72\) হওয়া উচিত। 🤔

অন্যভাবে করা যায়: জ্যা এর সমীকরণ নির্ণয়ের জন্য আমরা \(T=S_1\) সূত্র ব্যবহার করতে পারি। এখানে \(T\) হলো \(xx_1+yy_1\) এবং \(S_1\) হলো \(x_1^2+y_1^2\)। তাহলে, জ্যা এর সমীকরণ হবে: \(x(4) + y(-6) = 4^2 + (-6)^2\) \(4x - 6y = 16 + 36\) \(4x - 6y = 52\) \(2x - 3y = 26\) সুতরাং, নির্ণেয় জ্যা এর সমীকরণ \(2x - 3y = 26\) 🥳।