দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \)-এর যোগফল তাদের পার্থক্যের ওপর লম্ব। নিচের কোন বিবৃতিটি অবশ্যই সত্য?

Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \)-এর যোগফল তাদের পার্থক্যের ওপর লম্ব, এর মানে হলো \( \vec{A} + \vec{B} \) এবং \( \vec{A} - \vec{B} \) ভেক্টর একে অপরের প্রতি লম্ব হবে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \(|\vec{A}| = |\vec{B}|\): সঠিক, দুটি ভেক্টর যদি একে অপরের প্রতি লম্ব হয়, তাহলে তাদের আকার সমান হতে হবে। B. \( \vec{A} . \vec{B} = 0 \): ভুল, ভেক্টর ডট প্রডাক্ট 0 হওয়া সত্ত্বেও তাদের আকার সমান হতে হবে। C. \( \vec{A} \times \vec{B} \): ভুল, এই সম্পর্ক যোগফল বা পার্থক্য নয়। D. \( \vec{A} = -2\vec{B} \): ভুল, এই সমীকরণ সঠিক নয়। নোট: ভেক্টর যোগফল এবং পার্থক্যের মধ্যে লম্ব অবস্থান সম্পর্কের মাধ্যমে সঠিক উত্তর নির্ধারণ করা হয়েছে।

Another Explanation (5): ```html

ভেক্টর যোগফল ও বিয়োগফলের লম্ব হওয়ার শর্ত

ধরা যাক, দুটি ভেক্টর \( \vec{A} \) এবং \( \vec{B} \) এর যোগফল \( (\vec{A} + \vec{B}) \) এবং তাদের বিয়োগফল \( (\vec{A} - \vec{B}) \)।

প্রশ্নানুসারে, যোগফল ও বিয়োগফল পরস্পর লম্ব। এর মানে হলো তাদের ডট গুণফল শূন্য। অর্থাৎ,

\[ (\vec{A} + \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = 0 \]

ডট গুণফলের সূত্র ব্যবহার করে পাই,

\[ \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{A} \cdot \vec{B} + \vec{B} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0 \]

যেহেতু ডট গুণফল বিনিময়যোগ্য, তাই \( \vec{A} \cdot \vec{B} = \vec{B} \cdot \vec{A} \)। সুতরাং,

\[ \vec{A} \cdot \vec{A} - \vec{B} \cdot \vec{B} = 0 \]

আমরা জানি, \( \vec{A} \cdot \vec{A} = |\vec{A}|^2 \) এবং \( \vec{B} \cdot \vec{B} = |\vec{B}|^2 \)। তাহলে,

\[ |\vec{A}|^2 - |\vec{B}|^2 = 0 \] \[ |\vec{A}|^2 = |\vec{B}|^2 \]

অতএব,

\[ |\vec{A}| = |\vec{B}| \]

সুতরাং, যদি দুটি ভেক্টরের যোগফল তাদের বিয়োগফলের ওপর লম্ব হয়, তবে ভেক্টর দুটির মান সমান হবে। 🥳

```