একটি ইলেক্ট্রনকে(ভর 9.1×10^-31Kg) কত বেগে ধাবিত করলে তার ভর প্রোটনের(1.67×10^-27Kg) ভরের সমান হবে?

Explanation: Hints: \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \) Solve: \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \implies m^2(1 - \frac{v^2}{c^2}) = m_0^2 \implies 1 - \frac{v^2}{c^2} = \left(\frac{m_0}{m}\right)^2 \) \(\implies v^2 = \left\{ 1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2 \right\} \times c^2 \implies v = \sqrt{1 - \left(\frac{m_0}{m}\right)^2} \times c = 0.9999999c \) Ans. (D) ব্যাখ্যা: আইনস্টাইনের আপেক্ষিক তত্ত্ব মতে, দৈর্ঘ্য, সময় ও ভরের ভরগতিলতার উপর নির্ভরশীল। এই তত্ত্বানুযায়ী ভরের ভর, বেগ বৃদ্ধির সাথে বৃদ্ধি পায়। একে ভরের আপেক্ষিকতা বলে। গতিশীল কোনো বস্তুর ভর এ বস্তুর স্থির ভরের চেয়ে বেশি। তাই ইলেকট্রনের বেগ বাড়ালে প্রোটনের সমান হবে। \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \)

Another Explanation (5):

ইলেকট্রনের বেগ নির্ণয় 🚀

একটি ইলেকট্রনকে 🧑‍🚀 ঠিক কত বেগে ছুড়লে 💥 এর ভর একটি প্রোটনের 🧲 ভরের সমান হবে, সেটি বের করতে হবে।

প্রথমে, প্রয়োজনীয় সূত্র 🤔

ভরবেগের আপেক্ষিকতা (Relativistic mass) অনুযায়ী, \( m = \frac{m_0}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \) যেখানে: * \( m \) = আপেক্ষিক ভর (relativistic mass) ⚖️ * \( m_0 \) = স্থির ভর (rest mass) 🧘 * \( v \) = বেগ 🏃 * \( c \) = আলোর বেগ (light speed) ≈ \(3 \times 10^8\) m/s 🌠

প্রদত্ত তথ্য 📃

* ইলেকট্রনের স্থির ভর, \( m_{e0} = 9.1 \times 10^{-31} \) kg * প্রোটনের ভর, \( m_p = 1.67 \times 10^{-27} \) kg আমাদের বের করতে হবে ইলেকট্রনের বেগ \( v \) কত হলে ইলেকট্রনের আপেক্ষিক ভর \( m_p \) এর সমান হবে।

সমাধান ✍️

আমরা জানি, ইলেকট্রনের আপেক্ষিক ভর \( m = m_p \) হবে। সুতরাং, \( m_p = \frac{m_{e0}}{\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}} \) এখন, \(\sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\) এর মান বের করি: \( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{m_{e0}}{m_p} \) \( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} = \frac{9.1 \times 10^{-31}}{1.67 \times 10^{-27}} \) \( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}} \approx 0.0005449 \) উভয় দিকে বর্গ করে পাই: \( 1 - \frac{v^2}{c^2} \approx (0.0005449)^2 \) \( 1 - \frac{v^2}{c^2} \approx 2.97 \times 10^{-7} \) এখন, \(\frac{v^2}{c^2}\) এর মান বের করি: \( \frac{v^2}{c^2} = 1 - 2.97 \times 10^{-7} \) \( \frac{v^2}{c^2} \approx 0.9999997 \) সুতরাং, \( v^2 = 0.9999997 \times c^2 \) \( v = \sqrt{0.9999997} \times c \) \( v \approx 0.99999985 \times c \) অতএব, \(v \approx 0.9999999c\) 🎉

ফলাফল 🎯

যদি ইলেকট্রনকে আলোর বেগের \(0.9999999\) গুণ বেগে ধাবিত করা যায়, তবে এর ভর প্রোটনের ভরের সমান হবে।