লগইন করুন
আমাদের ওয়েবসাইটের সকল সুবিধা পেতে লগইন করুন
অথবা
GET IT ON
Google Play
আপনার পছন্দের থিম বেছে নিন।
x² = 1 -y পরাবৃত্তটির-
ii ও iii
x² = 1 - y পরাবৃত্তিটির-
নিচের কোনটি সঠিক?
প্রথমে, পরাবৃত্তিটির সমীকরণটি দেওয়া হয়েছে:
\[ x^2 = 1 - y \]
এটি একটি পরাবৃত্তির সমীকরণ। সাধারণত, পরাবৃত্তির সমীকরণ যদি হয়:
\[ (x - h)^2 = 4p (y - k) \]
তাহলে, এটি উপরের দিকের উলম্ব পরাবৃত্তি যেখানে শীর্ষবিন্দু \((h, k)\) এবং উপকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করা যায়।সমীকরণকে পুনর্লিখি:
\[ y = 1 - x^2 \]
এটি একটি উলম্ব পরাবৃত্তি যার শীর্ষবিন্দু হল সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন বিন্দু।
প্রতিটি x এর জন্য y এর মান:
\[ y = 1 - x^2 \]
শীর্ষবিন্দু পান করতে, আমরা এটি চিহ্নিত করি যেখানে y এর মান সর্বোচ্চ।
এখানে, y সর্বোচ্চ হবে যখন \( x=0 \):
\[ y_{max} = 1 - 0^2 = 1 \]
অর্থাৎ, শীর্ষবিন্দুটি হল \((0, 1)\)।
অতএব, শীর্ষবিন্দুটি (1, 0) নয়; সুতরাং, (i) ভুল।
পরাবৃত্তির সমীকরণ: \[ x^2 = 1 - y \]
এটি একই রকম হিসেবে লেখা যায়:
\[ y = 1 - x^2 \]
এটি একটি উলম্ব পরাবৃত্তি যার স্থির বিন্দু (vertex)।
উপকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করতে, আমরা পরাবৃত্তির সমীকরণের সাধারণ রূপ থেকে উপকেন্দ্রের অবস্থান নির্ণয় করি।
উপকেন্দ্রের জন্য, পরাবৃত্তির ধনাত্মক দিকের উপকেন্দ্রের জন্য, ধারা অনুযায়ী, এটি পজিটিভ 4p মানে:
সমীকরণ অনুযায়ী, ধরা যাক:
\[ (x - h)^2 = 4p (y - k) \]
আমাদের সমীকরণে, \[ x^2 = 1 - y \], যা লেখা যায়:
\[ x^2 + y = 1 \]
এটি একটি উলম্ব পরাবৃত্তি যার vertex \((0, 1)\)।
তাহলে, এটি সাধারণ রূপে লিখলে:
\[ (x - 0)^2 = 4p (y - 1) \]
এবং, সমানুপাতি অনুযায়ী:
\[ x^2 = 4p (y - 1) \]
আমাদের মূল সমীকরণের সাথে তুলনা করলে,:
\[ y = 1 - x^2 \Rightarrow x^2 = 1 - y \]
অর্থাৎ:
\[ x^2 = 4p (y - 1) \]
এখানে, যদি আমরা তুলনা করি, তাহলে:
\[ 4p (y - 1) = 1 - y \]
তাই:
\[ 4p (y - 1) = - (y - 1) \]
অর্থাৎ:
\[ y - 1 \neq 0 \] (অন্যথায়, y=1, যা শীর্ষবিন্দু)
তাহলে:
প্রতিপাদ্য মানে:
\[ 4p = -1 \]
অর্থাৎ:
\[ p = -\frac{1}{4} \]
উপকেন্দ্রের অবস্থান \((h, k + p)\):
\[ (0, 1 + p) = (0, 1 - \frac{1}{4}) = (0, \frac{3}{4}) \]
অতএব, উপকেন্দ্রটি \((0, 3/4)\), যা বিকল্প (ii)-র সাথে মিল রয়েছে।
নিয়ামক রেখা হল সেই রেখা যেখান দিয়ে পরাবৃত্তির ধনাত্মক দিকের বিন্দুগুলি অতিক্রম করে।
এটি সাধারণত, ধনাত্মক দিকের দূরত্বের সমীকরণ।
এখানে, ধনাত্মক দিকের জন্য, যেহেতু p = -1/4, এটি উলম্ব পরাবৃত্তি এবং ধনাত্মক দিকের বিন্দুগুলি y এর মান কম হবে।
তবে, প্রশ্নে, নিয়ামক রেখার সমীকরণ দেওয়া হয়েছে: 4y = 5।
এটি সরল রেখা যেখান দিয়ে পরাবৃত্তির ধনাত্মক দিকের বিন্দুগুলি অতিক্রম করে।
এটি রেখার সমীকরণ:
\[ y = \frac{5}{4} \]
এবং, উপকেন্দ্রের y মান হল 3/4, যা 5/4 (1.25) থেকে আলাদা।
তাহলে, এই রেখাটি উপকেন্দ্রের কাছাকাছি বা দূরে থাকতে পারে, তবে এটি সঠিকভাবে ধনাত্মক দিকের রেখা নয়।
তবে, প্রশ্নে বলা হয়েছে, নিয়ামক রেখার সমীকরণ 4y=5, অর্থাৎ y=5/4। এই রেখা পরাবৃত্তির ধনাত্মিক দিকের বিন্দু অতিক্রম করবে বলে ধরা হয়।
যেহেতু, উপকেন্দ্রের y মান 3/4 যা 0.75, এবং রেখার y মান 1.25, তারা আলাদা। তবে, এই রেখা এই পরাবৃত্তির ধনাত্মিক দিকের বিন্দু অতিক্রম করে এবং এটি সঠিক।
অতএব, সঠিক উত্তর: ii ও iii