Another Explanation (5): সমাধান:
প্রদত্ত সমীকরণ: \( 2x^3 - 5x + 3 = 0 \)
এর মূলগুলো হলো: \( \alpha, \beta, \gamma \)
প্রথমে, সমীকরণের সাধারণ সমন্বয়গুলো নির্ণয় করি:
\[
a = 2, \quad b = 0, \quad c = -5, \quad d = 3
\]
সমীকরণের মূলগুলোর উপর ভিত্তি করে মূল সংক্রান্ত সমন্বয়গুলো হলো:
\[
\alpha + \beta + \gamma = -\frac{b}{a} = -\frac{0}{2} = 0
\]
\[
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = \frac{c}{a} = \frac{-5}{2}
\]
\[
\alpha \beta \gamma = -\frac{d}{a} = -\frac{3}{2}
\]
আমাদের লক্ষ্য:
\[
(\beta + \alpha)(\gamma + \alpha)(\alpha + \beta)
\]
প্রথমে এই এক্সপ্রেশনটি সহজ করি:
\[
(\beta + \alpha)(\gamma + \alpha)(\alpha + \beta)
\]
নোট করুন যে:
\[
\beta + \alpha = (\alpha + \beta)
\]
\[
\gamma + \alpha
\]
\[
\alpha + \beta
\]
তাহলে, এক্সপ্রেশনটি হলো:
\[
(\alpha + \beta)(\alpha + \gamma)(\beta + \gamma)
\]
এটি মূলত:
\[
(\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha)
\]
আমরা জানি:
\[
(\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (\alpha + \beta + \gamma) (\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) - \alpha \beta \gamma
\]
কারণ, এটি একটি পরিচিত সমীকরণ:
\[
(\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (\alpha + \beta + \gamma)(\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha) - \alpha \beta \gamma
\]
এখন, উপরের মানগুলো জানি:
\[
\alpha + \beta + \gamma = 0
\]
\[
\alpha \beta + \beta \gamma + \gamma \alpha = -\frac{5}{2}
\]
\[
\alpha \beta \gamma = -\frac{3}{2}
\]
অতএব:
\[
(\alpha + \beta)(\beta + \gamma)(\gamma + \alpha) = (0) \times \left(-\frac{5}{2}\right) - \left(-\frac{3}{2}\right) = 0 + \frac{3}{2} = \frac{3}{2}
\]
সুতরাং,
উত্তর:
\( \boxed{\frac{3}{2}} \)
