\( y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \) বক্ররেখার \( (0,2) \) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

প্রশ্ন: \( y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \) বক্ররেখার \( (0,2) \) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ কোনটি?

সমাধান:

প্রদত্ত বক্ররেখাটি হলো: \( y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \)

\(x\) এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করে পাই,

\( 2y \frac{dy}{dx} - 2 - 4 \frac{dy}{dx} + 0 = 0 \)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} (2y - 4) = 2 \)

\( \Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{2}{2y - 4} = \frac{1}{y - 2} \)

\( (0, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল,

\( \left. \frac{dy}{dx} \right|_{(0, 2)} = \frac{1}{2 - 2} = \frac{1}{0} = \infty \)

সুতরাং, \( (0, 2) \) বিন্দুতে স্পর্শকের ঢাল অসীম। অতএব, স্পর্শকটি \( y \) অক্ষের সমান্তরাল।

আমরা জানি, অভিলম্ব স্পর্শকের উপর লম্ব। যেহেতু স্পর্শক \( y \) অক্ষের সমান্তরাল, তাই অভিলম্ব \( x \) অক্ষের সমান্তরাল হবে।

\( (0, 2) \) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ হবে \( y = 2 \)।

অতএব, \( y^2 - 2x - 4y + 4 = 0 \) বক্ররেখার \( (0,2) \) বিন্দুতে অভিলম্বের সমীকরণ \( y = 2 \)। 🎉

উত্তর: \( y = 2 \)