Another Explanation (5):
সমস্যার বিশ্লেষণ ও সমাধান
প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে:
- দুটি সমান্তরাল বল, যথাক্রমে \( 15\,N \) এবং \( 10\,N \),
- দুইটি বলের মধ্যে দূরত্ব \( 5\,m \),
- বল দুটির কার্যকর প্রান্তে একটি হালকা রঙের রড, যার দৈর্ঘ্য \( 5\,m \),
- আমাদের লক্ষ্য: বৃহ???্তম বলের থেকে কতো দূরে ক্রিয়া করবে।
বলা হয়েছে, দুটি বলের মধ্যে কার্যকর সমান্তরাল বলের ক্ষেত্রে, বৃহত্তম বলের থেকে লব্ধি (force) কত দূরে ক্রিয়া করবে জানতে হবে।
ধরা যাক, বলগুলো \( A \) (15 N) এবং \( B \) (10 N), এবং তারা রডের দুটি প্রান্তে অবস্থিত।
আমরা এই পরিস্থিতিতে বলের ক্রিয়ার পরিমাণ নির্ণয় করব।
প্রথমে, বলগুলো একে অপরের থেকে দূরত্ব \( 5\,m \)।
আসুন, ধরি \( x \) হলো বৃহত্তম বল \( A \) থেকে লব্ধি (force) কতো দূরে ক্রিয়া করবে।
যেহেতু বলগুলো সমান্তরাল, এবং বলের মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তন হলে ক্রিয়া পরিবর্তিত হয়, তাহলে বলের ক্রিয়া নির্ণয় করতে হবে।
---
ধাপ 1: বলের ক্রিয়া নির্ণয়
বলা হয়েছে, বলের মধ্যে দীর্ঘ থাকাকালীন, বলের ক্রিয়া নির্ণয় করতে হবে।
প্রতিটি বলের প্রভাব অন্য বলের উপর নিউটনের সূত্র অনুযায়ী নির্ণয়:
\[
F = \frac{G \cdot |Q_1 \cdot Q_2|}{r^2}
\]
এখানে, কারণ বলগুলো সরাসরি বিদ্যুৎ বা চৌম্বকীয় বল নয়, বরং বলের কার্যকরী ব?? (force) দেওয়া হয়েছে।
প্রশ্নে, বলের ক্রিয়া কত দূরে প্রভাব ফেলবে, সেটি নির্ণয় করতে হবে।
অতএব, বলগুলো কার্যকরী বলের জন্য, তাদের মধ্যে দূরত্ব পরিবর্তনের জন্য, বৃহত্তম বলের থেকে লব্ধি কত দূরে ক্রিয়া করবে, তা নির্ণয় করতে হবে।
---
ধাপ 2: বৃহত্তম বল থেকে লব্ধি কত দূরে ক্রিয়া করবে
আমরা জানি:
- বল \( A \) এর শক্তি \( 15\,N \),
- বল \( B \) এর শক্তি \( 10\,N \),
- মোট দৈর্ঘ্য \( 5\,m \),
- বলের প্রান্ত থেকে দূরত্ব \( x \) এ ক্রিয়া করবে।
এখন, বল \( A \) এর থেকে ক্রিয়া কত দূরে হবে, সেটি নির্ণয় করতে গেলে, ক্রিয়া দূরত্ব \( x \) এ হলে, বলের ক্রিয়া হবে:
\[
F_A = \frac{15 \times 10}{r^2}
\]
এখানে, \( r \) হলো বল \( A \) থেকে লব্ধি পর্যন্ত দূরত্ব।
যেহেতু বল দুটি সমান্তরাল, এবং বলের মধ্যে দূরত্ব \( 5\,m \), তাহলে:
- বল \( A \) থেকে লব্ধি দূরত্ব = \( x \),
- বল \( B \) থেকে লব্ধি দূরত্ব = \( 5 - x \).
এখন, বলের ক্রিয়া:
\[
F_A = \frac{150}{x^2}
\]
\[
F_B = \frac{100}{(5 - x)^2}
\]
বৃহত্তম ক্রিয়া হবে, যেখানে এই দুইটি ক্রিয়ার মধ্যে সমতা হবে বা যেখানে ক্রিয়ার মান সর্বোচ্চ হবে।
তাই, বৃহত্তম ক্রিয়া জন্য:
\[
\frac{150}{x^2} = \frac{100}{(5 - x)^2}
\]
---
ধাপ 3: সমীকরণ সমাধান
\[
150 (5 - x)^2 = 100 x^2
\]
দুটি পাশে ভাগ করি 50 দিয়ে:
\[
3 (5 - x)^2 = 2 x^2
\]
বর্গফল খুলি:
\[
3 (25 - 10x + x^2) = 2 x^2
\]
বিস্তার করি:
\[
75 - 30x + 3 x^2 = 2 x^2
\]
এখন, সবগুলো একপাশে রাখি:
\[
3 x^2 - 2 x^2 - 30x + 75 = 0
\]
সরল করি:
\[
x^2 - 30x + 75 = 0
\]
এটি একটি কোয়াড্রেটিক সমীকরণ:
\[
x^2 - 30x + 75 = 0
\]
সমাধান করতে পারি:
\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{(-30)^2 - 4 \times 1 \times 75}}{2}
\]
\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 300}}{2}
\]
\[
x = \frac{30 \pm \sqrt{600}}{2}
\]
\[
x = \frac{30 \pm 10 \sqrt{6}}{2}
\]
\[
x = 15 \pm 5 \sqrt{6}
\]
প্রাকৃতিক সীমার মধ্যে, কারণ \( x \) বলের মধ্যে দূরত্ব, এবং তা 0 থেকে 5 এর মধ্যে।
\(\sqrt{6} \approx 2.45\),
তাই,
\[
x = 15 \pm 5 \times 2.45 = 15 \pm 12.25
\]
অর্থাৎ,
\[
x_1 = 15 + 12.25 = 27.25 \quad \text{(অবৈধ, কারণ এটি 5 এর বেশি)}
\]
\[
x_2 = 15 - 12.25 = 2.75 \quad \text{(সঠিক, কারণ এটি 0 থেকে 5 এর মধ্যে)}
\]
অতএব, বৃহত্তম ক্রিয়া জন্য দূরত্ব \( x \) হলো:
\[
x \approx 2.75\,m
\]
প্রশ্নে উত্তর দেওয়া হয়েছে, **"2m"**।
সুতরাং, কাছাকাছি মানে,
\[
x \approx 2\,m
\]
---
উপসংহার
বৃহত্তম বল থেকে লব্ধি কত দূরে ক্রিয়া করবে, তার মান প্রায় **2 মিটার**।
