cos²3^°+cos²6^°+cos²9^°+......+cos²87^°=?

Another Explanation (5):

সমাধান:

প্রশ্নে দেওয়া হয়েছে: \[ \cos^2 3^\circ + \cos^2 6^\circ + \cos^2 9^\circ + \dots + \cos^2 87^\circ \] এখানে, টার্মের সংখ্যা নির্ণয় করি: প্রতিটি টার্মের কোণ হলো: 3°, 6°, 9°, ..., 87°। সর্বাধিক টার্মের কোণ হলো 87°। প্রতিটি টার্মের কোণ: \(3^\circ \times n\), যেখানে \(n\) হলো টার্মের সংখ্যা। আমরা জানি: \[ 3^\circ \times n = 87^\circ \implies n = \frac{87}{3} = 29 \] অর্থাৎ, মোট 29টি টার্ম রয়েছে। আমাদের লক্ষ্য: \[ S = \sum_{k=1}^{29} \cos^2(3k^\circ) \] ব্যবহার করি: \[ \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} \] সুতরাং, \[ S = \sum_{k=1}^{29} \frac{1 + \cos 2(3k^\circ)}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{29} 1 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{29} \cos (6k^\circ) \] প্রথম টার্ম: \[ \sum_{k=1}^{29} 1 = 29 \] দ্বিতীয় টার্ম: \[ \sum_{k=1}^{29} \cos (6k^\circ) \] অতএব, \[ S = \frac{1}{2} \times 29 + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{29} \cos (6k^\circ) \] এখন, আমাদের প্রয়োজন: \[ \sum_{k=1}^{29} \cos (6k^\circ) \] এটি একটি সমষ্টি যা সাধারণ গাণিতিক সূত্রের মাধ্যমে সমাধান করা যায়: \[ \sum_{k=1}^{n} \cos (k \theta) = \frac{\sin \left( \frac{n \theta}{2} \right) \cos \left( \frac{(n+1) \theta}{2} \right)}{\sin \left( \frac{\theta}{2} \right)} \] এখানে, \(\theta = 6^\circ\), \(n=29\): \[ \sum_{k=1}^{29} \cos (6k^\circ) = \frac{\sin \left( \frac{29 \times 6^\circ}{2} \right) \times \cos \left( \frac{30 \times 6^\circ}{2} \right)}{\sin \left( \frac{6^\circ}{2} \right)} \] গণনা করি: \[ \frac{29 \times 6^\circ}{2} = \frac{174^\circ}{2} = 87^\circ \] \[ \frac{30 \times 6^\circ}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ \] \[ \frac{6^\circ}{2} = 3^\circ \] অতএব, \[ \sum_{k=1}^{29} \cos (6k^\circ) = \frac{\sin 87^\circ \times \cos 90^\circ}{\sin 3^\circ} \] এখানে, \(\cos 90^\circ = 0\), অতএব, \[ \sum_{k=1}^{29} \cos (6k^\circ) = 0 \] সুতরাং, \[ S = \frac{1}{2} \times 29 + \frac{1}{2} \times 0 = \frac{29}{2} = 14.5 \] **অতএব, উত্তর হলো: \(\boxed{14.5}\)**