Another Explanation (5): সমাধান:
প্রশ্নে বলা হয়েছে, এককের জটিল ঘনমূল দ্বয় \(x\) ও \(y\)। অর্থাৎ,
\[
x = re^{i\theta}, \quad y = se^{i\phi}
\]
এবং,
\[
|x| = |y| = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
r = s = 1
\]
তাহলে,
\[
x = e^{i\theta}, \quad y = e^{i\phi}
\]
---
প্রথম শর্ত: \(x^2 = y\)
\[
x^2 = e^{i2\theta} = y = e^{i\phi}
\Rightarrow \phi = 2\theta
\]
এবং,
\[
|x^2| = |y| \Rightarrow 1 = 1
\]
অর্থাৎ, এটি সম্ভব।
**অর্থাৎ, (i) সঠিক।**
---
দ্বিতীয় শর্ত: \(x^2 + y^2 = i^2\)
\[
x^2 + y^2 = e^{i2\theta} + e^{i2\phi}
\]
এবং,
\[
i^2 = -1
\]
তাই,
\[
e^{i2\theta} + e^{i2\phi} = -1
\]
এখন,
\[
e^{i2\theta} = \cos 2\theta + i \sin 2\theta
\]
এবং,
\[
e^{i2\phi} = \cos 2\phi + i \sin 2\phi
\]
সুতরাং,
\[
\cos 2\theta + \cos 2\phi + i (\sin 2\theta + \sin 2\phi) = -1 + 0i
\]
অর্থাৎ, বাস্তব অংশ:
\[
\cos 2\theta + \cos 2\phi = -1
\]
এবং কল্পনামূলক অংশ:
\[
\sin 2\theta + \sin 2\phi = 0
\]
---
**সমাধান:**
\[
\sin 2\theta + \sin 2\phi = 0
\]
\[
2 \sin \left(\frac{2\theta + 2\phi}{2}\right) \cos \left(\frac{2\theta - 2\phi}{2}\right) = 0
\]
\[
\Rightarrow \sin (\theta + \phi) \cos (\theta - \phi) = 0
\]
অর্থাৎ,
\[
\sin (\theta + \phi) = 0 \quad \text{অথবা} \quad \cos (\theta - \phi) = 0
\]
---
**অর্থাৎ:**
1. \(\sin (\theta + \phi) = 0 \Rightarrow \theta + \phi = n\pi\)
2. \(\cos (\theta - \phi) = 0 \Rightarrow \theta - \phi = \frac{\pi}{2} + m\pi\)
এবং, বাস্তব অংশের সমীকরণ:
\[
\cos 2\theta + \cos 2\phi = -1
\]
\[
2 \cos (\theta + \phi) \cos (\theta - \phi) = -1
\]
---
### **উপসংহার:**
- যদি \(\sin (\theta + \phi) = 0\), তাহলে \(\cos (\theta + \phi) = \pm 1\)
- যদি \(\cos (\theta - \phi) = 0\), তাহলে \(\cos (\theta - \phi) = 0\)
সুতরাং, এই দুইটি পরিস্থিতি বাস্তবসম্মত এবং সঠিক হতে পারে। ফলে, দ্বিতীয় শর্ত সম্ভব।
**অর্থাৎ, (ii) সঠিক।**
---
তৃতীয় শর্ত: \(x^2 y^2 = i^4\)
\[
x^2 y^2 = e^{i2\theta} \cdot e^{i2\phi} = e^{i(2\theta + 2\phi)}
\]
এবং,
\[
i^4 = (i^2)^2 = (-1)^2 = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
e^{i(2\theta + 2\phi)} = 1
\Rightarrow 2(\theta + \phi) = 2k\pi
\Rightarrow \theta + \phi = k\pi
\]
অর্থাৎ, \(\sin (\theta + \phi) = 0\) এবং \(\cos (\theta + \phi) = \pm 1\)। এটা প্রথম শর্তের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ।
**অর্থাৎ, (iii) সঠিক।**
---
সারাংশ:
সব শর্তই সম্ভব এবং সঠিক, অর্থাৎ,
উত্তর: "i, ii ও iii"
---
চূড়ান্ত উত্তর:
উত্তর: i, ii ও iii
