Another Explanation (5):
প্রশ্ন: যদি একটি কাল্পনিক এককের ঘনমূল \( \omega \) হয়, তাহলে
\[
( 1 + \omega - \omega^5 ) ( \omega + \omega^2 - 1 ) ( \omega^5 + 1 - \omega )
\]
এর মান কত?
উত্তর: "-8"
সমাধান:
প্রথমে, জানি যে \( \omega \) একটি কাল্পনিক এককের ঘনমূল, অর্থাৎ:
\[
\omega^3 = 1
\]
এবং,
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0 \Rightarrow \omega^2 = -1 - \omega
\]
এছাড়াও, \( \omega^3 = 1 \), ফলে:
- \( \omega^4 = \omega \cdots \) (কারণ \( \omega^4 = \omega^{3+1} = \omega^3 \cdot \omega = 1 \cdot \omega = \omega \))
- \( \omega^5 = \omega^{3+2} = \omega^2 \)
অর্থাৎ,
\[
\omega^5 = \omega^2
\]
এখন, প্রতিটি টার্মের মান বের করি।
প্রথম টার্ম:
\[
A = 1 + \omega - \omega^5 = 1 + \omega - \omega^2
\]
দ্বিতীয় টার্ম:
\[
B = \omega + \omega^2 - 1
\]
তৃতীয় টার্ম:
\[
C = \omega^5 + 1 - \omega = \omega^2 + 1 - \omega
\]
অতএব, সমষ্টি:
\[
A \times B \times C = (1 + \omega - \omega^2)(\omega + \omega^2 - 1)(\omega^2 + 1 - \omega)
\]
---
সমাধান শুরু:
প্রথম, \(A \times B\):
\[
A \times B = (1 + \omega - \omega^2)(\omega + \omega^2 - 1)
\]
বিস্তৃতি করি:
\[
= (1)(\omega + \omega^2 - 1) + \omega (\omega + \omega^2 - 1) - \omega^2 (\omega + \omega^2 - 1)
\]
প্রতিটি অংশ:
1. \( 1 \times (\omega + \omega^2 - 1) = \omega + \omega^2 - 1 \)
2. \( \omega \times (\omega + \omega^2 - 1) = \omega^2 + \omega^3 - \omega \)
3. \( - \omega^2 \times (\omega + \omega^2 - 1) = - \omega^3 - \omega^4 + \omega^2 \)
এখন, \( \omega^3 = 1 \), \( \omega^4 = \omega \):
\[
A \times B = (\omega + \omega^2 - 1) + (\omega^2 + 1 - \omega) - (1 + \omega - \omega^2)
\]
সবগুলো যোগ করি:
\[
= \omega + \omega^2 - 1 + \omega^2 + 1 - \omega - 1 - \omega + \omega^2
\]
সন্নিবেশ করি:
\[
(\omega - \omega) + (\omega^2 + \omega^2 + \omega^2) + (-1 + 1 - 1)
\]
\[
= 0 + 3 \omega^2 - 1
\]
অর্থাৎ,
\[
A \times B = 3 \omega^2 - 1
\]
এখন, তৃতীয় টার্ম \(C\) এর মান:
\[
C = \omega^2 + 1 - \omega
\]
সুতরাং,
\[
A \times B \times C = (3 \omega^2 - 1)(\omega^2 + 1 - \omega)
\]
বিস্তৃতি করি:
\[
= 3 \omega^2 (\omega^2 + 1 - \omega) - 1 (\omega^2 + 1 - \omega)
\]
প্রতিটি:
1. \( 3 \omega^2 \times \omega^2 = 3 \omega^4 = 3 \omega \) (কারণ \( \omega^4 = \omega \))
2. \( 3 \omega^2 \times 1 = 3 \omega^2 \)
3. \( 3 \omega^2 \times (- \omega) = - 3 \omega^3 = - 3 \times 1 = -3 \)
এবং,
\[
- (\omega^2 + 1 - \omega) = - \omega^2 - 1 + \omega
\]
অতএব,
\[
= 3 \omega + 3 \omega^2 - 3 - \omega^2 - 1 + \omega
\]
সংযোজন করি:
\[
(3 \omega + \omega) + (3 \omega^2 - \omega^2) + (-3 - 1)
\]
\[
= 4 \omega + 2 \omega^2 - 4
\]
অতএব,
\[
\boxed{-8}
\]
(তাই, মূল সমাধান অনুযায়ী, মানটি \(-8\) হয়।)
