Another Explanation (5): সমাধান:
প্রথমে, ধরি যে এককের জটিল ঘনমূল দুটি \(x\) ও \(y\)। আমাদের দেওয়া শর্তসমূহ হলো:
- \(1 + x + y = 0\)
- \(xy = 1\)
- \(x^2 = y\)
ধাপ ১: শর্ত (iii) থেকে:
আমরা জানি, \(y = x^2\)। এখন, এই মানটি শর্ত (ii)-তে বসাই:
\[
xy = 1 \Rightarrow x \cdot y = 1 \Rightarrow x \cdot x^2 = 1 \Rightarrow x^3 = 1
\]
অর্থাৎ,
\[
x^3 = 1
\]
এখানে, \(x\) এককের জটিল ঘনমূল। এককের জটিল ঘনমূলের সমাধান হলো:
\[
x = 1, \quad x = \omega, \quad x = \omega^2
\]
যেখানে,
\[
\omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
\[
\omega^2 = e^{4\pi i/3} = -\frac{1}{2} - i \frac{\sqrt{3}}{2}
\]
এবং,
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
ধাপ ২: প্রতিটি মানের জন্য \(y\) নির্ণয়:
**প্রথমে, \(x = 1\):**
\[
y = x^2 = 1^2 = 1
\]
এবং,
\[
1 + x + y = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0
\]
অতএব, এই সমাধানটি শর্ত (i) পূরণ করে না।
**দ্বিতীয়, \(x = \omega\):**
\[
y = x^2 = \omega^2
\]
চেক করা যাক, শর্ত (i):
\[
1 + x + y = 1 + \omega + \omega^2
\]
এবং,
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
অর্থাৎ, শর্ত (i) পূরণ হয়।
**তৃতীয়, \(x = \omega^2\):**
\[
y = x^2 = (\omega^2)^2 = \omega^4
\]
যেহেতু,
\[
\omega^3 = 1 \Rightarrow \omega^4 = \omega
\]
তাই,
\[
y = \omega
\]
চেক করি শর্ত (i):
\[
1 + x + y = 1 + \omega^2 + \omega
\]
এবং আবার,
\[
1 + \omega + \omega^2 = 0
\]
অতএব, এই শর্তও পূরণ হয়।
উপসংহার:
- **\(x = 1\) এর জন্য, শর্ত (i) পূরণ হয় না।**
- **\(x = \omega\) এর জন্য, সকল শর্ত পূরণ হয়।**
- **\(x = \omega^2\) এর জন্য, সকল শর্ত পূরণ হয়।**
অর্থাৎ, **\(x = \omega\) অথবা \(x = \omega^2\)** এর জন্য সব শর্ত পূরণ হয়। এই মানগুলো এককের জটিল ঘনমূল, এবং সব শর্ত পূরণ করে।
**তাই, উত্তর: "i, ii ও iii"** উপযুক্ত নয়, কারণ:
- শর্ত (i) শুধুমাত্র \(x = \omega, \omega^2\) এর জন্য পূরণ হয়, কিন্তু \(x=1\) এর জন্য নয়।
অতএব, **সঠিক উত্তর হলো:**
**"ii ও iii"** বা শুধুমাত্র শর্ত (ii) ও (iii) এর জন্য সত্য।
---
**তবে, প্রশ্নের উত্তরে উল্লেখ করা হয়েছে: "i, ii ও iii"। যদি প্রশ্নটি বোঝায় যে সব শর্ত (i), (ii), এবং (iii) একসাথে পূরণ হয়, তবে তা ভুল। কারণ, \(x=1\) এর জন্য শর্ত (i) হয় না।**
**অতএব, উপযুক্ত সমাধান হল:**
উত্তর: "ii ও iii"
