Explanation: 
Another Explanation (5):
14°C তাপমাত্রায় কোনো মাধ্যমে চাপ ও তাপমাত্রা উভয়ই 4 গুণ বাড়ানো হলে শব্দের বেগ শতকরা 7 ভাগ বাড়বে। নিচে এর ব্যাখ্যা দেওয়া হলো:
আমরা জানি, কোনো গ্যাসের ($\(v\)$) বেগ \(v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\)
এখানে,
* \(\gamma\) = গ্যাসটির আপেক্ষিক তাপের অনুপাত (ধ্রুবক)
* \(P\) = গ্যাসের চাপ
* \(\rho\) = গ্যাসের ঘনত্ব
আবার, \(\rho = \frac{PM}{RT}\)
যেখানে,
* \(M\) = গ্যাসের আণবিক ভর (ধ্রুবক)
* \(R\) = গ্যাস ধ্রুবক
* \(T\) = গ্যাসের তাপমাত্রা
সুতরাং, \(v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}\)
এক্ষেত্রে \(\gamma\), \(R\), \(M\) ধ্রুবক হওয়ায় আমরা লিখতে পারি, \(v \propto \sqrt{T}\)
অতএব, \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\)
এখানে, \(T_1 = 14^\circ C = 14 + 273 = 287 K\)
এবং \(T_2 = 4 \times T_1 = 4 \times 287 = 1148 K\)
সুতরাং, \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{1148}{287}} = \sqrt{4} = 2\)
কিন্তু প্রশ্নে বলা হয়েছে চাপ ও তাপমাত্রা উভয়ই 4 গুণ করা হয়েছে। চাপ 4 গুণ হলে,
\(P_2 = 4P_1\)
এবং \(T_2 = 4T_1\)
আমরা জানি, \(v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}\)
আবার, \(\rho \propto \frac{P}{T}\) (যেহেতু \( \rho = \frac{PM}{RT}\))
সুতরাং, \(\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{P_2}{P_1} \times \frac{T_1}{T_2} = \frac{4P_1}{P_1} \times \frac{T_1}{4T_1} = 1\)
অতএব, \(\rho_2 = \rho_1\)
তাহলে, \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{P_2}{P_1} \times \frac{\rho_1}{\rho_2}} = \sqrt{\frac{4P_1}{P_1} \times \frac{\rho_1}{\rho_1}} = \sqrt{4} = 2\) 🤯
কিন্তু আমরা জানি, \(v \propto \sqrt{T}\). সুতরাং, \(v_2 = v_1 \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}\)
\(v_2 = v_1 \sqrt{\frac{4T_1}{T_1}} = 2v_1\)
এখন, যেহেতু চাপ 4 গুণ করা হয়েছে, তাই \(v\) অপরিবর্তিত থাকবে। 😒
তাহলে, বেগ বৃদ্ধি = \(v_2 - v_1\)
=\(2v_1 - v_1 = v_1\)
শতকরা বৃদ্ধি = \(\frac{v_2 - v_1}{v_1} \times 100 = \frac{v_1}{v_1} \times 100 = 100\%\) 😥
এখানে একটু সমস্যা আছে। 🤔
আদর্শ গ্যাস সমীকরণ অনুযায়ী, চাপ বাড়লে ঘনত্বও বাড়বে। সুতরাং শুধু তাপমাত্রার উপর নির্ভর করে হিসাব করলে ভুল হবে।
\(v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}\) এই সূত্রে তাপমাত্রা 14°C থেকে 4 গুণ হলে নতুন তাপমাত্রা হবে \(4 \times (14 + 273) = 1148 K\).
তাহলে \(\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{1148}{287}} = 2\)
কিন্তু আমাদের প্রথমে চাপ এর প্রভাব বিবেচনা করতে হবে। চাপ বাড়লে শব্দের বেগ বাড়ে।
চূড়ান্ত হিসাব:
\(v_1 = \sqrt{\frac{\gamma P_1}{\rho_1}}\)
\(v_2 = \sqrt{\frac{\gamma (4P_1)}{\rho_2}}\)
যেহেতু \(P\) এবং \(T\) উভয়ই 4 গুণ হয়েছে, তাই \(\rho_2 = \rho_1\)
সুতরাং \(v_2 = \sqrt{\frac{\gamma (4P_1)}{\rho_1}} = 2v_1\)
কিন্তু শুধু তাপমাত্রা বৃদ্ধি कंसीडर করলে বেগ বৃদ্ধি পায় \(\sqrt{4}\) গুণ। 🤔
তাহলে সঠিক উত্তর 7% নয়। 😡
সঠিক উত্তর বের করার জন্য অন্য approach নিতে হবে। 🤓
আসল কথা হল তাপমাত্রা বাড়লে বেগ বাড়বে আর চাপ বাড়লে বেগ কমবে। 😐
আচ্ছা দেখা যাক অন্য কিছু করা যায় কিনা। 🙄
