একটি বস্তু t sec সময়ে 6t³-6t²-48t² দূরত্ব অতিক্রম করলে কত সময় পরে বস্তুটি থেমে যাবে? 

একটি বস্তু t সেকেন্ড সময়ে 6t³ - 6t² - 48t দূরত্ব অতিক্রম করলে কত সময় পরে বস্তুটি থেমে যাবে?

1. 1 সেকেন্ড (Incorrect)
2. 2 সেকেন্ড (Correct)
3. 3 সেকেন্ড (Incorrect)
4. 4 সেকেন্ড (Incorrect)

বস্তুর গতি এবং বেগ

বস্তুর থেমে যাওয়ার অর্থ হলো তার বেগ শূন্য হওয়া। বেগ হলো সময়ের সাথে বস্তুর অবস্থানের পরিবর্তনের হার। যদি কোনো বস্তু s দূরত্ব অতিক্রম করে t সময়ে, তবে তার বেগ (v) নির্ণয় করা যায় দূরত্বের সময়ের সাপেক্ষে অন্তরকলজ (derivative) নিয়ে।

v = ds/dt

প্রদত্ত দূরত্ব

প্রশ্নানুসারে, বস্তুটি t সময়ে যে দূরত্ব অতিক্রম করে, তা হলো:

s = 6t³ - 6t² - 48t

বেগ নির্ণয়

এখন আমরা বেগের সমীকরণ বের করার জন্য দূরত্বের সমীকরণকে সময়ের সাপেক্ষে অন্তরকলজ করব:

v = d/dt (6t³ - 6t² - 48t)

v = 18t² - 12t - 48

থামে যাওয়ার শর্ত

বস্তুটি থেমে যাবে যখন তার বেগ শূন্য হবে। সুতরাং, আমরা v = 0 ধরে t এর মান নির্ণয় করব:

18t² - 12t - 48 = 0

সমীকরণ সমাধান

আমরা এই দ্বিঘাত সমীকরণটি সমাধান করে t এর মান বের করতে পারি। প্রথমে, সমীকরণটিকে 6 দিয়ে ভাগ করে ছোট করা যাক:

3t² - 2t - 8 = 0

এখন আমরা দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধানের সূত্র ব্যবহার করব:

t = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

এখানে, a = 3, b = -2, c = -8। মানগুলো সূত্রে বসানো যাক:

t = [ -(-2) ± √((-2)² - 4 × 3 × (-8)) ] / (2 × 3)

t = [ 2 ± √(4 + 96) ] / 6

t = [ 2 ± √100 ] / 6

t = [ 2 ± 10 ] / 6

আমরা দুটি মান পাই:

t₁ = (2 + 10) / 6 = 12 / 6 = 2 সেকেন্ড

t₂ = (2 - 10) / 6 = -8 / 6 = -4/3 সেকেন্ড

সময় ঋণাত্মক হতে পারে না, তাই আমরা ধনাত্মক মানটি গ্রহণ করব।

t = 2 সেকেন্ড

ফলাফল

সুতরাং, বস্তুটি 2 সেকেন্ড পরে থেমে যাবে।

বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ

এখন আমরা বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করে দেখব কোনটি সঠিক:

1. 1 সেকেন্ড (Incorrect)
2. 2 সেকেন্ড (Correct)
3. 3 সেকেন্ড (Incorrect)
4. 4 সেকেন্ড (Incorrect)

সিদ্ধান্ত

উপরের হিসাব থেকে দেখা যাচ্ছে যে, বস্তুটি 2 সেকেন্ড পরে থেমে যাবে।

টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন

বিষয়টি আরও সহজে বোঝার জন্য একটি টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো:

সমাধান ধাপ

1. বেগের সমীকরণ নির্ণয় করা: v = 18t² - 12t - 48
2. বেগ শূন্য ধরে সময়ের মান বের করা: 18t² - 12t - 48 = 0
3. দ্বিঘাত সমীকরণ সমাধান করে t = 2 সেকেন্ড পাওয়া যায়।

সঠিক উত্তর: B. 2 সেকেন্ড