The value of |[b+c,a,a],[b,c+a,b],[c,c,a+b]| 

প্রশ্ন: \( \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix} \) = ?

উত্তর: 4abc

ব্যাখ্যা:

ধরি, \( \Delta = \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix} \)

\( C_1 \rightarrow C_1 - C_2 - C_3 \) করে পাই,

\( \Delta = \begin{vmatrix} b+c-a-a & a & a \\ b-c-a-b & c+a & b \\ c-c-a-b & c & a+b \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} b+c-2a & a & a \\ -c-a & c+a & b \\ -a-b & c & a+b \end{vmatrix} \)

\( R_2 \rightarrow R_2 + R_1 \) এবং \( R_3 \rightarrow R_3 + R_1 \) করে পাই,

\( \Delta = \begin{vmatrix} b+c-2a & a & a \\ b+c-2a-c-a & c+a+a & b+a \\ b+c-2a-a-b & c+a & a+b+a \end{vmatrix} \) \( = \begin{vmatrix} b+c-2a & a & a \\ b-3a & c+2a & b+a \\ c-3a & c+a & 2a+b \end{vmatrix} \)

এখন, \( R_1 \rightarrow R_1 - R_2 \) এবং \(R_1 \rightarrow R_1 - R_3 \) করে পাই,

\( R_1 \rightarrow R_1 - R_2 \) 😀 \( \Delta = \begin{vmatrix} b+c-2a-b+3a & a-c-2a & a-b-a \\ b-3a & c+2a & b+a \\ c-3a & c+a & 2a+b \end{vmatrix} \) \( = \begin{vmatrix} c+a & -c-a & -b \\ b-3a & c+2a & b+a \\ c-3a & c+a & 2a+b \end{vmatrix} \)

\( R_1 \rightarrow R_1 - R_3 \) 🤔 \( \Delta = \begin{vmatrix} c+a-c+3a & -c-a-c-a & -b-2a-b \\ b-3a & c+2a & b+a \\ c-3a & c+a & 2a+b \end{vmatrix} \) \( = \begin{vmatrix} 4a & -2c-2a & -2b-2a \\ b-3a & c+2a & b+a \\ c-3a & c+a & 2a+b \end{vmatrix} \)

এটা অন্যভাবে করা যাক 🤔।

\( \Delta = \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix} \)

\( C_2 \rightarrow C_2 - C_1 \) এবং \( C_3 \rightarrow C_3 - C_1 \) করে পাই,

\( \Delta = \begin{vmatrix} b+c & a-b-c & a-b-c \\ b & c+a-b & b-b \\ c & c-c & a+b-c \end{vmatrix} \) \( = \begin{vmatrix} b+c & a-b-c & a-b-c \\ b & c+a-b & 0 \\ c & 0 & a+b-c \end{vmatrix} \)

এখন প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই,

\( \Delta = (b+c)[(c+a-b)(a+b-c) - 0] - (a-b-c)[b(a+b-c)-0] + (a-b-c)[0-c(c+a-b)] \) \( = (b+c)[(c+a-b)(a+b-c)] - (a-b-c)[b(a+b-c)] + (a-b-c)[-c(c+a-b)] \) \( = (b+c)[(a+(c-b))(a-(c-b))] - (a-b-c)[ab+b^2-bc] - (a-b-c)[c^2+ac-bc] \) \( = (b+c)[a^2 - (c-b)^2] - (a-b-c)[ab+b^2-bc+c^2+ac-bc] \) \( = (b+c)[a^2 - (c^2-2bc+b^2)] - (a-b-c)[ab+b^2-2bc+c^2+ac] \) \( = (b+c)[a^2 - c^2+2bc-b^2] - (a-b-c)[ab+b^2-2bc+c^2+ac] \)

অন্য একটি সহজ উপায় 🤔:

\( \Delta = \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix} \)

\(R_1 \rightarrow R_1 - R_2 - R_3 \) করে পাই,

\( \Delta = \begin{vmatrix} b+c-b-c & a-c-a-c & a-b-a-b \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix} \) \( = \begin{vmatrix} 0 & -2c & -2b \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix} \)

এখন প্রথম সারি বরাবর বিস্তার করে পাই,

\( \Delta = 0 - (-2c)[b(a+b)-bc] + (-2b)[bc-c(c+a)] \) \( = 2c[ab+b^2-bc] -2b[bc-c^2-ac] \) \( = 2abc+2b^2c-2bc^2 -2b^2c+2bc^2+2abc \) \( = 4abc \)

সুতরাং, \( \begin{vmatrix} b+c & a & a \\ b & c+a & b \\ c & c & a+b \end{vmatrix} = 4abc \) ( প্রমাণিত ) 🎉