f (x)  এর মান  কত হলে  ∫ x²   cosx dx = f(x) -2 ∫ sinx dx সুত্রটি মেনে চলে? 

প্রশ্নানুসারে, ∫ x² cosx dx = f(x) - 2 ∫ sinx dx

আমাদের f(x) এর মান নির্ণয় করতে হবে।

প্রথমে, ∫ x² cosx dx এর মান নির্ণয় করি। এখানে ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস (integration by parts) সূত্র ব্যবহার করতে হবে।

∫ u v dx = u ∫ v dx - ∫ (du/dx ∫ v dx) dx

ধরি, u = x² এবং v = cosx

তাহলে, ∫ x² cosx dx = x² ∫ cosx dx - ∫ (d/dx (x²) ∫ cosx dx) dx

= x² sinx - ∫ (2x sinx) dx

= x² sinx - 2 ∫ x sinx dx

আবার ইন্টিগ্রেশন বাই পার্টস ব্যবহার করি, ∫ x sinx dx এর জন্য।

ধরি, u = x এবং v = sinx

∫ x sinx dx = x ∫ sinx dx - ∫ (d/dx (x) ∫ sinx dx) dx

= x (-cosx) - ∫ (1 * (-cosx)) dx

= -x cosx + ∫ cosx dx

= -x cosx + sinx + C₁

সুতরাং, ∫ x² cosx dx = x² sinx - 2 (-x cosx + sinx) + C

= x² sinx + 2x cosx - 2 sinx + C

এখন, প্রদত্ত সূত্রটি হল:

∫ x² cosx dx = f(x) - 2 ∫ sinx dx

আমরা জানি, ∫ sinx dx = -cosx + C₂

সুতরাং, x² sinx + 2x cosx - 2 sinx + C = f(x) - 2 (-cosx) + C'

x² sinx + 2x cosx - 2 sinx + C = f(x) + 2 cosx + C'

f(x) = x² sinx + 2x cosx - 2 sinx - 2 cosx + (C - C')

ধ্রুবক C এবং C' কে উপেক্ষা করে:

যদি f(x) = x² sinx + 2x cosx হয় তবে,

f(x) - 2 ∫ sinx dx = x² sinx + 2x cosx - 2(-cosx) = x² sinx + 2x cosx + 2cosx

কিন্তু আমাদের দরকার x² sinx + 2x cosx - 2 sinx. 😔

যদি f(x) = x² sinx + 2xcosx -2sinx -2cosx তবে,

f(x) - 2 ∫ sinx dx = x² sinx + 2x cosx - 2 sinx - 2cosx +2 cosx = x² sinx + 2x cosx - 2 sinx.

অতএব, প্রশ্নপত্রে দেওয়া উত্তরের সাথে মেলানোর জন্য, f(x) = x² sinx + 2xcosx - 2sinx - 2cosx होना चाहिए, जो कि सही नहीं है। তবে প্রশ্নপত্রে দেওয়া উত্তর `x<sup>2</sup> sinx` যদি সঠিক হয় তবে ∫ x² cosx dx = x² sinx - 2 ∫ sinx dx সূত্রটি সঠিক নয়। 🧐