lim_(x->0) (cos-1)/(x^2) = ?

সমাধান:

আমরা প্রশ্নটি অনুসারে:

\( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \)

ধাপ 1: টেইলর বিকৃতি (Taylor Series Expansion) ব্যবহার করা:

কোসাইন ফাংশনের টেইলর সিরিজে:

\( \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots \)

ধাপ 2: বিকৃতি লাগানো:

অতএব,

\( \cos x - 1 = - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots \)

ধাপ 3: মূল সীমা নির্ণয়:

সুতরাং,

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{- \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24} - \dots}{x^2} \]

উপরের সঙ্গতিসমূহ ভাগ করলে,

\[ = \lim_{x \to 0} \left( - \frac{1}{2} + \frac{x^2}{24} - \dots \right) \]

যেহেতু \( x \to 0 \), অতএব,

\[ = - \frac{1}{2} \]

অতএব, উত্তর:

\( \boxed{ - \frac{1}{2} } \)