Another Explanation (5): প্রশ্ন: \( 9x^2 + 4y^2 = 324 \) এই সমীকরণটি একটি কণিকের। উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।
প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখি:
\[ 9x^2 + 4y^2 = 324 \]
উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে, আমরা সাধারণত এই সমীকরণটিকে অ্যাক্সিসের সমীকরণের মতো লিখি:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
এখানে, সমীকরণটি যদি এরূপ হয়, তবে উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হবে \((\pm c, 0)\) বা \((0, \pm c)\) নির্ভর করে কিসের উপর ভিত্তি করে। তবে, এটি একটি অ্যালিনের কণিকা বা এলিপ্সের সমীকরণ।
তাই প্রথমে সমীকরণটি সাধারণ আকারে রূপান্তর করি:
\[ \frac{9x^2}{324} + \frac{4y^2}{324} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{81} = 1 \]
এখানে,
\[ a^2 = 36 \Rightarrow a = 6 \]
\[ b^2 = 81 \Rightarrow b = 9 \]
এটি একটি এলিপ্স। এলিপ্সের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হয়:
- \( ( \pm c, 0) \) যদি \( a > b \),
- বা \( (0, \pm c) \) যদি \( b > a \),
এবং,
\[ c^2 = |a^2 - b^2| \]
এখানে,
\[ c^2 = |36 - 81| = 45 \]
অর্থাৎ,
\[ c = \sqrt{45} = 3\sqrt{5} \]
এখন, এলিপ্সের উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক:
\[ (0, \pm 3\sqrt{5}) \]
সুতরাং, উপকেন্দ্রের স্থানাঙ্ক হল:
\[
\boxed{(0, \pm 3\sqrt{5})}
\]
