A train at rest has a length of 100m. At what speed must it approach a tunnel of length 80m so that an observer at rest with respect to the tunnel will see that the entire main is in the tunnel one time?

প্রশ্ন: ট্রেনের বেগ নির্ণয়

একটি স্থির ট্রেনের দৈর্ঘ্য 100 মিটার। 80 মিটার দৈর্ঘ্যের একটি টানেলের দিকে এটি কত বেগে অগ্রসর হলে টানেলের সাপেক্ষে স্থির একজন পর্যবেক্ষক দেখবে যে পুরো ট্রেনটি একবারে টানেলের মধ্যে ঢুকে গেছে?

সমাধান:

এখানে, আপেক্ষিকতার কারণে দৈর্ঘ্যের সংকোচন ঘটবে। পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে ট্রেনের দৈর্ঘ্য \(L\) হলে, \(L = L_0 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\), যেখানে \(L_0\) হলো স্থির দৈর্ঘ্য (100 মিটার), \(v\) হলো ট্রেনের বেগ, এবং \(c\) হলো আলোর বেগ (\(3 \times 10^8\) m/s)।

পর্যবেক্ষকের সাপেক্ষে পুরো ট্রেনটিকে টানেলের মধ্যে দেখতে হলে, ট্রেনের দৈর্ঘ্য টানেলের দৈর্ঘ্যের সমান হতে হবে। সুতরাং, \(L = 80\) মিটার।

এখন, আমরা বেগ \(v\) নির্ণয় করব:

\(80 = 100 \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

\(\frac{80}{100} = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

\(0.8 = \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\)

উভয় দিকে বর্গ করে পাই,

\(0.64 = 1 - \frac{v^2}{c^2}\)

\(\frac{v^2}{c^2} = 1 - 0.64\)

\(\frac{v^2}{c^2} = 0.36\)

\(v^2 = 0.36 \times c^2\)

\(v = \sqrt{0.36} \times c\)

\(v = 0.6 \times c\)

\(v = 0.6 \times 3 \times 10^8\) m/s

\(v = 1.8 \times 10^8\) m/s

অতএব, ট্রেনটিকে \(1.8 \times 10^8\) m/s বেগে টানেলের দিকে অগ্রসর হতে হবে। 🚄💨

উত্তর: \(1.8 \times 10^8\) m/s