f(x)=tan^-1x হলে—

1. 2f(x)=tan^-1(2x)/(1-x²)
2. 2f(x)=sin^-1(2x)/(1-x²)
3. 2f(x)=cos^-1(1-x²)/(1+x²)

নিচের কোনটি সঠিক? 

Another Explanation (5):

সমাধান:

আমরা জানি যে, \(f(x) = \tan^{-1} x\)। এখন আমাদের দেখতে হবে নিম্নলিখিত বিকল্পগুলো কোনটি সঠিক:

1. 2f(x) = \(\tan^{-1} \frac{2x}{1 - x^2}\)
2. 2f(x) = \(\sin^{-1} \frac{2x}{1 + x^2}\)
3. 2f(x) = \(\cos^{-1} \frac{1 - x^2}{1 + x^2}\)

প্রমাণ:

1. বিকল্প (i):

আমরা জানি যে, \[ 2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right), \] যদি \(\tan^{-1}\) এর আংশিক গুণের সূত্রটি মনে রাখা হয়। এটি একটি মানদণ্ড সূত্র: \[ 2 \tan^{-1} x = \tan^{-1} \left( \frac{2x}{1 - x^2} \right), \quad \text{যখন} \quad x \in (-1, 1). \] অর্থাৎ, বিকল্প (i) সঠিক নয় কারণ এটি উপযুক্ত ক্ষেত্রের জন্য।

2. বিকল্প (ii):

আমাদের জানা রয়েছে যে, \[ \sin 2\theta = 2 \sin \theta \cos \theta, \] এবং যদি \(\theta = \tan^{-1} x\), তাহলে: \[ \sin \theta = \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}}, \quad \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}}. \] অতএব, \[ \sin 2\theta = 2 \times \frac{x}{\sqrt{1 + x^2}} \times \frac{1}{\sqrt{1 + x^2}} = \frac{2x}{1 + x^2}. \] এখন, এটি থেকে পাই: \[ 2 \theta = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right), \] অর্থাৎ, \[ 2 \tan^{-1} x = \sin^{-1} \left( \frac{2x}{1 + x^2} \right). \] এখানে, বিকল্প (ii) সঠিক।

3. বিকল্প (iii):

আমরা জানি যে, \[ \cos 2 \theta = \frac{1 - \tan^2 \theta}{1 + \tan^2 \theta}. \] যেখানে \(\theta = \tan^{-1} x\), তাই: \[ \cos 2 \theta = \frac{1 - x^2}{1 + x^2}. \] অতএব, \[ 2 \theta = \cos^{-1} \left( \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \right). \] এখানে, বিকল্প (iii) বিশ্লেষণে ঠিক আছে।

উপসংহার:

বিকল্প (ii) এবং (iii) যথার্থ। সুতরাং, সঠিক উত্তর হলো:

উত্তর: ii ও iii