d/dx[tan^-1(e^-x)]=কত?

সমাধান:

আমরা সমীকরণটি দিচ্ছি:
\(\frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}(e^{-x}) \right)\)

প্রথমে, আমরা জানি যে, যদি \( y = \tan^{-1}(u) \), তাহলে: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{1 + u^2} \cdot \frac{du}{dx} \]

এখানে, \( u = e^{-x} \)। তাহলে, \[ \frac{du}{dx} = -e^{-x} \]

অতএব, ডেরিভেটিভ হবে: \[ \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}(e^{-x}) \right) = \frac{1}{1 + (e^{-x})^2} \cdot (-e^{-x}) \]

এখন, \( (e^{-x})^2 = e^{-2x} \), সুতরাং, \[ \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1}(e^{-x}) \right) = \frac{-e^{-x}}{1 + e^{-2x}} \]