একটি রেলগাড়ি A হতে B পর্যন্ত 1/2 km পথ 50 সেকেন্ডে এবং B হতে C পর্যন্ত 3/4 km পথ একই সময়ে অতিক্রম করে। ত্বরণ সুষম হলে A এবং C বিন্দুতে গাড়ীর গতিবেগ কত কি.মি/ঘ.?

একটি রেলগাড়ি A হতে B পর্যন্ত 1/2 km পথ 50 সেকেন্ডে এবং B হতে C পর্যন্ত 3/4 km পথ একই সময়ে অতিক্রম করে। ত্বরণ সুষম হলে A এবং C বিন্দুতে গাড়ীর গতিবেগ কত কি.মি/ঘ.?

1. 27 ও 60 (Incorrect)
2. 30 ও 63 (Incorrect)
3. 27 ও 63 (Correct)
4. 30 ও 60 (Incorrect)

সমস্যাটির ব্যাখ্যা

প্রশ্নটিতে একটি রেলগাড়ির দুটি ভিন্ন দূরত্ব অতিক্রম করার তথ্য দেওয়া আছে এবং বলা হয়েছে যে ত্বরণ সুষম। আমাদের A এবং C বিন্দুতে গাড়ির গতিবেগ নির্ণয় করতে হবে।

প্রয়োজনীয় সূত্র

আমরা এখানে গতির সমীকরণ ব্যবহার করব। যেহেতু ত্বরণ সুষম, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রগুলো ব্যবহার করতে পারি:

1. \\(s = ut + \\frac{1}{2}at^2\\)
2. \\(v = u + at\\)
3. \\(v^2 = u^2 + 2as\\)

যেখানে:

• \\(s\\) = দূরত্ব
• \\(u\\) = আদি বেগ
• \\(v\\) = শেষ বেগ
• \\(a\\) = ত্বরণ
• \\(t\\) = সময়

তথ্য সংগ্রহ

প্রশ্ন থেকে আমরা নিম্নলিখিত তথ্য পাই:

• A থেকে B পর্যন্ত দূরত্ব (\\(s_{AB}\\)) = 1/2 km = 0.5 km
• B থেকে C পর্যন্ত দূরত্ব (\\(s_{BC}\\)) = 3/4 km = 0.75 km
• A থেকে B পর্যন্ত সময় (\\(t_{AB}\\)) = 50 সেকেন্ড
• B থেকে C পর্যন্ত সময় (\\(t_{BC}\\)) = 50 সেকেন্ড

একক পরিবর্তন

সময় সেকেন্ডে দেওয়া আছে, কিন্তু আমাদের গতিবেগ কি.মি/ঘন্টায় বের করতে হবে। তাই সময়কে ঘন্টায় পরিবর্তন করি:

50 \\text{ সেকেন্ড} = \\frac{50}{3600} \\text{ ঘন্টা} = \\frac{1}{72} \\text{ ঘন্টা}

বেগ নির্ণয়

ধরি, A বিন্দুতে বেগ \\(u\\), B বিন্দুতে বেগ \\(v\\) এবং C বিন্দুতে বেগ \\(w\\)।

A থেকে B পর্যন্ত গতির জন্য:

s_{AB} = u t_{AB} + \\frac{1}{2} a t_{AB}^2

0.5 = u \\times \\frac{1}{72} + \\frac{1}{2} a \\times (\\frac{1}{72})^2

36 = u + \\frac{a}{144} \\quad ..... (i)

B থেকে C পর্যন্ত গতির জন্য:

s_{BC} = v t_{BC} + \\frac{1}{2} a t_{BC}^2

0.75 = v \\times \\frac{1}{72} + \\frac{1}{2} a \\times (\\frac{1}{72})^2

54 = v + \\frac{a}{144} \\quad ..... (ii)

আমরা আরও জানি, \\(v = u + a t_{AB} = u + a \\times \\frac{1}{72}\\) \\quad ..... (iii)

এবং \\(w = v + a t_{BC} = v + a \\times \\frac{1}{72}\\) \\quad ..... (iv)

সমীকরণ (ii) থেকে (i) বিয়োগ করে পাই:

54 - 36 = v - u

18 = v - u

সমীকরণ (iii) থেকে, \\(v - u = \\frac{a}{72}\\)

18 = \\frac{a}{72} \\implies a = 18 \\times 72 = 1296 \\text{ km/ঘন্টা}^2

এখন, সমীকরণ (i) থেকে \\(u\\) এর মান বের করি:

36 = u + \\frac{1296}{144}

36 = u + 9

u = 36 - 9 = 27 \\text{ কি.মি/ঘন্টা}

এখন, \\(v\\) এর মান বের করি:

v = u + \\frac{a}{72} = 27 + \\frac{1296}{72} = 27 + 18 = 45 \\text{ কি.মি/ঘন্টা}

এখন, \\(w\\) এর মান বের করি:

w = v + \\frac{a}{72} = 45 + \\frac{1296}{72} = 45 + 18 = 63 \\text{ কি.মি/ঘন্টা}

বিকল্পগুলোর বিশ্লেষণ

এখন আমরা বিকল্পগুলো বিশ্লেষণ করে দেখব কোনটি সঠিক:

1. 27 ও 60 (Incorrect)
2. 30 ও 63 (Incorrect)
3. 27 ও 63 (Correct)
4. 30 ও 60 (Incorrect)

সিদ্ধান্ত

A বিন্দুতে গাড়ির গতিবেগ 27 কি.মি/ঘন্টা এবং C বিন্দুতে গাড়ির গতিবেগ 63 কি.মি/ঘন্টা।

টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন

বিষয়টি আরও সহজে বোঝার জন্য একটি টেবিলের মাধ্যমে উপস্থাপন করা হলো:

সঠিক উত্তর: C. 27 ও 63