Another Explanation (5): প্রশ্ন: \(ax + by + c = 0\) সরলরেখাটি \(y^2 = 4px\) পরাবৃত্তিকে স্পর্শ করলে কোনটি সঠিক হবে?
উত্তর: \(ac = pb^2\)
---
সমাধান:
ধরা যাক, সরলরেখা: \(ax + by + c = 0\)
পরাবর্তী: \(y^2 = 4px\)
প্রথমে, সরলরেখাকে \(x\) এর সমাধানে প্রকাশ করি:
\[
ax + by + c = 0 \Rightarrow x = -\frac{by + c}{a}
\]
এখন, এই মানটি পরাবর্তীর সমীকরণে বসাব:
\[
y^2 = 4p \left( -\frac{by + c}{a} \right)
\]
\[
\Rightarrow y^2 = - \frac{4p}{a} (by + c)
\]
এখন, উভয় পাশে \(a\) দিয়ে গুণ করি:
\[
a y^2 = -4p (b y + c)
\]
বিস্তার করি:
\[
a y^2 + 4 p b y + 4 p c = 0
\]
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ \(a y^2 + 4 p b y + 4 p c = 0\)।
যেহেতু সরলরেখা পরাবর্তীকে স্পর্শ করছে, তাই এই সমীকরণের একমাত্র সমাধান থাকবে। অর্থাৎ, এর ডিটারমিন্যান্ট শূন্য হতে হবে:
\[
D = (4 p b)^2 - 4 \times a \times 4 p c = 0
\]
\[
16 p^2 b^2 - 16 a p c = 0
\]
দুটি পাশে 16 দিয়ে ভাগ করি:
\[
p^2 b^2 - a p c = 0
\]
এখানে, \(p \neq 0\) (কারণ পরাবর্তীর জন্য \(p\) শূন্য নয়):
\[
p^2 b^2 = a p c
\]
উভয় পাশে \(p\) দিয়ে ভাগ করি:
\[
p b^2 = a c
\]
অর্থাৎ,
\[
a c = p b^2
\]
অতএব, সঠিক উত্তর হলো:
**\(\boxed{a c = p b^2}\)**
