Explanation: প্রশ্ন বিশ্লেষণ: \( (1+ai)^2 \) জটিল রাশিটির আর্গুমেন্ট \( \frac{\pi}{4} \) হলে, \( a \) এর মান কত, জানতে চাওয়া হয়েছে। অপশন বিশ্লেষণ: A. \( 1 \pm \sqrt{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। B. \( -1 \pm \sqrt{2} \): সঠিক, এটি সঠিক উত্তর। C. \( 2 \pm \sqrt{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। D. \( -2 \pm \sqrt{2} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। E. \( 1 \pm \sqrt{3} \): ভুল, এটি সঠিক নয়। নোট: জটিল রাশি \( (1 + ai)^2 \) আর্গুমেন্টের সূত্রের মাধ্যমে বের করা হয়।
Another Explanation (5): ```html
জটিল রাশির আর্গুমেন্ট এবং \( a \) এর মান নির্ণয়
দেওয়া আছে, \( (1+ai)^2 \) জটিল রাশিটির আর্গুমেন্ট \( \frac{\pi}{4} \)। আমাদের \( a \) এর মান নির্ণয় করতে হবে।
প্রথমে, \( (1+ai)^2 \) রাশিটিকে সরল করি:
\( (1+ai)^2 = 1 + 2ai + (ai)^2 = 1 + 2ai - a^2 = (1-a^2) + 2ai \)
এখন, এই জটিল রাশিটির আর্গুমেন্ট \( \frac{\pi}{4} \) । আমরা জানি, কোনো জটিল রাশি \( x + iy \) এর আর্গুমেন্ট \( \theta \) হলে, \( \tan(\theta) = \frac{y}{x} \) হয়।
এখানে, \( x = 1-a^2 \) এবং \( y = 2a \)। সুতরাং,
\( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2a}{1-a^2} \)
আমরা জানি, \( \tan\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 \)। সুতরাং,
\( 1 = \frac{2a}{1-a^2} \)
এখন, আমরা \( a \) এর মান বের করার জন্য সমীকরণটি সমাধান করি:
\( 1-a^2 = 2a \)
\( a^2 + 2a - 1 = 0 \)
এটি একটি দ্বিঘাত সমীকরণ। আমরা দ্বিঘাত সূত্রের সাহায্যে \( a \) এর মান নির্ণয় করতে পারি:
\( a = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \)
এখানে, \( a=1 \), \( b=2 \) এবং \( c=-1 \)। সুতরাং,
\( a = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)} \)
\( a = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \)
\( a = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} \)
\( a = \frac{-2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \)
\( a = -1 \pm \sqrt{2} \)
অতএব, \( a \) এর মান \( -1 \pm \sqrt{2} \). 🎉
```
