\( y^2 = 4x + 8y \) পরাবৃত্তটির শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক কত?

প্রশ্নের সমাধান:

আমরা প্রদত্ত সমীকরণটি হলো:

 \( y^2 = 4x + 8y \) 

ধাপ ১: সমীকরণকে সাধারণ পরাবৃত্তের রূপে রূপান্তর করি।

প্রথমে, সমীকরণটি থেকে x এর মান নির্ণয় করি:

 \( y^2 = 4x + 8y \) 

 \( 4x = y^2 - 8y \) 

 \( x = \frac{y^2 - 8y}{4} \) 

ধাপ ২: সমীকরণের ডাইভারজেন্স বা শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করতে, আমরা x এর সমীকরণ সম্পূর্ণ স্কোয়ার করে লিখব।

প্রথমে, y এর টার্মটি সম্পূর্ণ স্কোয়ার করার জন্য, y এর জন্য একটি যোগ বা বিয়োগ করব:

 \( y^2 - 8y \) 

 \( y^2 - 8y + 16 - 16 = (y - 4)^2 - 16 \) 

 \( x = \frac{(y - 4)^2 - 16}{4} \) 

 \( x = \frac{(y - 4)^2}{4} - 4 \) 

ধাপ ৩: এখন, এই সমীকরণের মাধ্যমে শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক নির্ণয় করি।

এখানে, \( x = \frac{(y - 4)^2}{4} - 4 \)

এবং, এটি একটি পরাবৃত্তির মানচিত্র, যেখানে \( (y - 4)^2 \) এর মান সর্বদা ধনাত্মক বা শূন্য হতে পারে।

ধাপ ৪: শীর্ষবিন্দুর অবস্থান নির্ণয় করতে, আমরা দেখব যে এই পরাবৃত্তির সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মান কোথায় আসে।

এখানে, \( x \) এর জন্য, এক্সেসের জন্য, আমরা বুঝতে পারি যে, \( x \) এর মান সর্বনিমুখে পৌঁছাবে যখন \( (y - 4)^2 \) সবচেয়ে কম হবে।

যখন, \( (y - 4)^2 = 0 \), তখন:

 \( y - 4 = 0 \Rightarrow y = 4 \) 

 \( x = \frac{0}{4} - 4 = -4 \) এবং \( y = 4 \)।

 \(\boxed{(-4, 4)} \)

উত্তর:

শীর্ষবিন্দুর স্থানাঙ্ক হচ্ছে: (-4, 4)